O teorema de Picard-Lindelöf (en numerosas ocasións chamado simplemente teorema de Picard, outras teorema de Cauchy-Lipschitz, teorema de Picard-Lipschitz ou teorema de existencia e unicidade) é un resultado matemático de gran relevancia dentro do estudo das ecuacións diferenciais ordinarias (EDO). Establece condicións suficientes para garantir a existencia e unicidade dunha solución para unha EDO, dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial).
Historia O estudo e desenvolvemento do Teorema de Picard-Lindelöf foi levado a cabo entre os anos 1820 e 1900, principalmente por Cauchy, Liouville, Lipschitz, Picard e Lindelöf:
Entre 1820 e 1830, Cauchy demostrou que dada unha función continua tal que existe a derivada parcial e ademais é continua en certo entorno do punto , entón existe un intervalo tal que o problema de valores iniciais: posúe solución única definida en .
En 1838, Liouville simplificou a proba de Cauchy introducindo o método de aproximacións sucesivas, que tempo despois serían coñecidas como iteracións de Picard. En 1876, Lipschitz mellorou o resultado de Cauchy, substituíndo a condición sobre a derivada parcial, por unha menos forte, coñecida como condición de Lipschitz. Posteriormente, seguindo as mesmas ideas dadas por Liouville e Lipschitz, todo o anterior foi lixeiramente mellorado e xeneralizado por Picard (1890) e Lindelöf (1893). É por iso que o teorema debe o seu nome ao matemático francés Picard e ao topólogo finlandés, quen enunciou a teoría de Picard tras a súa morte.
Teorema
Enunciado xeral
A función diremos que é localmente Lipschitz respecto de en () se para todo , existe un entorno no cal se verifica que dados arbitrarios, existe unha constante tal que . Obsérvese que a constante non ten por que ser a mesma para todos os entornos, de alí que estemos a falar dun concepto local. Por outra banda, o parámetro pode ser atopado explicitamente, na demostración danse detalles diso.
Enunciado con máis restriccións O resultado anterior esixe os requisitos mínimos que debe cumprir unha función se queremos aplicar o teorema. Engadindo condicións adicionais ao enunciado orixinal, podemos dar outro resultado máis sinxelo. Sexa unha función Lipschitz, dado un par , existe unha única solución do problema de valor inicialdefinida . A esta versión adóitaselle chamar teorema da banda pechada.
Observacións É importante decatarse que o teorema de Picard só garante a existencia e unicidad local, e non necesariamente global, da solución dunha EDO. É dicir, máis aló do intervalo proporcionado polo teorema (a demostración é construtiva) non podemos afirmar ren, en principio, do comportamento da solución do problema de valor inicial. Considérese a este respecto a EDO dada por . É posible complementar o teorema sinalando que existe un intervalo aberto, que chamaremos intervalo maximal no cal pode garantirse que a solución existe e é única; fóra deste intervalo, o teorema de Picard non pode aplicarse. Por outra banda, cabe recalcar que son condicións suficientes, e non necesarias as que ofrece o teorema de Picard, polo que a unicidade de solución non permite deducir, en xeral, propiedades da función .
Optimización do intervalo da solución Como corolario do teorema do punto fixo de Banach, se un operador é contractivo para algunha potencia entón ten un único punto fixo. Tentaremos empregar este resultado co operador de Picard. Mais imos precisar dun pequeno lema, que será de gran utilidade para aplicar o anterior corolario.
Iteración de Picard O método de aproximacións sucesivas de Picard é un método iterativo para obter unha solución a unha EDO. Dita construción iterativa poderase realizar segundo a expresión
Este método construtivo é posible grazas ao teorema do punto fixo de Banach.
Resultados vencellados Como xa foi mencionado con anterioridade, existen resultados, como os da banda pechada e aberta, que establecen condicións suficientes para garantir a existencia e unicidade da solución nun intervalo coñecido. Estes son de gran relevancia debido á súa comodidade, xa que, pese a ter un intervalo teórico en función de , é impracticable atopar tal valor en numerosas ocasións.
Un método moi empregado para validar que se verifican as hipóteses do teorema de Picard adoita ser a análise da continuidade de , debido a que esta é unha condición suficiente para garantir a lipschitzianidade local.
O teorema de existencia de Carathéodory inda é máis xeral. Este é unha xeneralización do teorema de Peano, no que non se require que a función sexa continua pola dereita. Pódese empregar para garantir a existencia (mais non a unicidade) de solucións de ecuacións diferenciais discontinuas.
Como observación final, é útil decatarse que o conxunto para o cal se satisfán as hipóteses do teorema de Picard, ten que estar contido no que require o teorema de Cauchy-Peano.
Exemplos Contraexemplo miniatura|Distintas solucións da EDO , segundo o parámetro e , que amosan a perda de unicidade. Consideremos a EDO dada por , onde é localmente Lipschitz salvo nos puntos do xeito. . A solución xeral vén dada por: . Agora ben, tamén é solución, e para calquera escollido, sempre existe un punto no que ambas solucións tocan, e polo tanto hai perda de unicidade nos puntos anteditos.
Exemplo
A función non é lipschitziana, pese a que si o é localmente, pois dado un punto arbitrario , no entorno , satisfase que se , tense: , onde . Disto deducimos que a EDO ten solución e é única.
Notas
Véxase tamén Bibliografía Cauchy-Lipschitz theorem en Encyclopaedia of Mathematics. (en inglés) Fixed Points and the Picard Algorithm (en inglés) Notas de profundización sobre o teorema de Picard-Lindelöf (en español) Picard Iteration (en inglés) Demostración do teorema de Picard–Lindelöf . (en inglés) Exemplo do uso do Teorema de Picard Dicionario biográfico de matemáticos (pdf) Introdución á Teoría de Ecuacións Diferenciais Ordinarias Daniel Azagra Rueda (pdf)
Outros artigos Ecuación diferencial ordinaria Función lipschitziana Teorema de existencia de Peano
Categoría:Teoremas Categoría:Análise matemática Categoría:Ecuacións diferenciais