miniatura|De esquerda a dereita: unha superficie con curvatura de Gauss negativa (hiperboloide dunha folla), outra con curvatura de Gauss cero (cilindro) e unha última con curvatura de Gauss positiva (esfera). miniatura|Algúns puntos no toro teñen curvatura de Gauss positiva(exterior), negativa(interior) ou nula(a zona de unión). En xeometría diferencial, a curvatura de Gauss (tamén coñecida baixo a letra , nomeada así por Carl Friedrich Gauss) dunha superficie lisa no espazo tridimensional nun punto é o produto das súas curvaturas principais, e , no punto dado:Por exemplo, a curvatura de Gauss dunha esfera de raio é en todos os seus puntos, mentres que o plano e o cilindro teñen curvatura nula. A curvatura de Gauss tamén pode ser negativa, como no caso do hiperboloide ou no interior do toro.
A curvatura de Gauss, é unha medida intrínseca da curvatura da superficie, o que significa que, en principio, podería medirse por un ser bidimensional que vive completamente dentro da superficie, porque depende só das distancias que se miden "dentro de" ou ao longo da superficie, non dependendo da súa disposición espacial no espazo euclidiano. Este é o contido do Teorema Egregium, publicado por Gauss en 1827.
Definición informal dereita|miniatura|300x300px|Superficie en forma de sela, con planos normais nas direccións das curvas principais En calquera punto dunha superficie, podemos atopar un vector normal que forma un ángulo recto coa superficie; os planos xerados polo vector normal e outro vector pertencente ao plano tanxente, chámanse planos normais. A intersección dun plano normal e a superficie formará unha curva chamada sección normal, cuxa curvatura é a curvatura normal. Para a meirande parte dos puntos na maioría das superficies lisas, as diferentes seccións normais terán diferentes curvaturas; os valores máximos e mínimos que estas poden acadar chámanse curvaturas principais, . A curvatura de Gauss é definida como o produto das dúas curvaturas principais, é dicir, .
O signo da curvatura de Gauss pódese utilizar para caracterizar a superficie.
Se ámbalas curvaturas principais teñen o mesmo signo: , entón a curvatura de Gauss é positiva e dise que a superficie ten un punto elíptico. En tales puntos, a superficie será como unha cúpula, que se atopa localmente nun lado do seu plano tanxente(ver imaxe). Ou todas as seccións normais terán curvatura positiva nese punto, ou a terán negativa(atendendo á elección do normal), mais nunca se poderán dar simultaneamente ambas situacións. Se as curvaturas principais teñen signos diferentes: , entón a curvatura de Gauss é negativa e dise que a superficie ten un punto hiperbólico. Contrariamente ao que aparece no apartado anterior, non podemos garantir que todas as seccións normais teñan curvatura negativa ou positiva. Nesta situación, de xeito local, a superficie atoparase a ámbolos lados do plano tanxente, semellando unha sela(ver imaxe). Se unha das curvaturas principais é cero: , a curvatura de Gauss é cero e dise que a superficie ten un punto parabólico. Se ámbalas curvaturas principais son cero: , entón a curvatura de Gauss é cero e dise que a superficie ten un punto plano. En tales puntos a superficie, será semellante a un plano localmente.
A meirande parte das superficies conterán rexións de curvatura de Gauss positiva (puntos elípticos) e rexións de curvatura de Gauss negativa separadas por unha curva de puntos con curvatura de Gauss cero, chamada liña parabólica.
Definición formal Dada unha superficie e a súa aplicación de Gauss , defínese o endomorfismo de Weingarten ou operador forma no punto como , o cal é autoadxunto e polo tanto diagonalizable, debido ao teorema espectral. Logo, existe unha base de vectores propios ortonormais de na que se verifica que . Chámanse curvaturas principais no punto aos autovalores reais devanditos, e direccóns principais a sendos autovectores. Por convenio, adóitase asumir que .
A curvatura de Gauss no punto queda definida como , e a curvatura media . Propiedades Algúns resultados interesantes vencellados coa curvatura gaussiana son os seguintes: Dado un punto , a segunda forma fundamental verifica: . Toda superficie compacta posúe canda menos un punto hiperbólico. Toda superficie reglada verifica .
Relacións entre diferentes xeometrías No caso de que unha superficie posúa curvatura de Gauss nula en todos os seus puntos, entón dirase que é desarroiable e a xeometría da superficie é a euclidiana.
Cando unha superficie ten unha curvatura de Gauss positiva constante, entón a xeometría da superficie é esférica. Tanto esferas como cachos delas teñen esta xeometría, inda que tamén existen outros exemplos, como o limón.
Se unha superficie ten unha curvatura de Gauss negativa constante, entón é unha superficie pseudoesférica e a xeometría da superficie é hiperbólica.
Relación coas curvaturas principais As curvaturas principais nun punto dunha superficie defínense como os valores propios do operador de forma no punto. Miden como a superficie se dobra en diferentes direccións desde ese punto. Grazas ao teorema da función implícita, podemos afirmar que localmente a superficie é o grafo dunha función de dúas variables, de tal xeito que o punto é un punto crítico, é dicir, o gradiente de anúlase alí(isto sempre se pode lograr mediante un movemento ríxido axeitado). Entón, a curvatura de Gauss da superficie en é o determinante da matriz Xessiana de de (sendo o produto dos valores propios da Xessiana). Esta definición permite comprender inmediatamente a distinción entre un punto elíptico ou hiperbólico, fronte a un punto de sela.
Definicións alternativas Outro posible xeito de definir a curvatura de gauss é:onde é a derivada covariante e é o tensor métrico.
Nun punto dunha superficie regular en , a curvatura de Gauss tamén vén dada poronde é o operador forma ou endomorfismo de Weingarten.
Unha fórmula útil para a curvatura de Gauss é a ecuación de Liouville en termos do laplaciano en coordenadas isotérmicas.
Curvatura total miniatura|A suma dos ángulos dun triángulo nunha superficie de curvatura negativa é menor que a dun triángulo plano. A superficie integral da curvatura de Gauss sobre algunha rexión dunha superficie denomínase a curvatura total. A curvatura total dun triángulo xeodésico é igual á desviación da suma dos seus ángulos de . A suma dos ángulos dun triangulo nunha superficie de curvatura positiva excedera , mentres que a suma dos mesmos dun triangulo nunha superficie de curvatura negativa será menor que . Nunha superficie con curvatura cero, tal como o plano euclidiano ou o cilindro, os ángulos sumarán precisamente radianes.Un resultado máis xeral é o teorema de Gauss-Bonnet.
Teoremas importantes
Teorema egregium de Gauss O Teorema egregium de Gauss establece que a curvatura de Gauss dunha superficie pódese determinar a partir das medicións de lonxitude na propia superficie. De feito, pódese atopar exclusivamente co coñecemento da primeira forma fundamental, dado que depende exclusivamente da mesma e as súas derivadas parciais de primeira e segunda orde(para máis información, buscar sobre os símbolos de Christoffel).
A característica notable, e sorprendente, deste teorema é que aínda que a definición da curvatura de Gauss dunha superficie en depende da forma en que a superficie está situada no espazo, o resultado final, a propia curvatura de Gauss, está determinada pola métrica intrínseca da superficie, sen ningunha referencia adicional ao espazo ambiente: é un invariante intrínseco á superficie. En particular, a curvatura de Gauss é invariable baixo deformacións isométricas da superficie.
Na xeometría diferencial contemporánea, unha superficie é unha variedade diferenciable bidimensional, é dicir, unha 2-variedade. Dadas dúas superficies e , unha isometría local entre elas é unha aplicación diferenciable entre superficies , que satisfai que dado un punto arbitrario e , tense a relación: . Deste xeito, o teorema egregio de Gauss establece o seguinte:A aplicación principal do teorema é verificar que dúas superficies non poden ser localmente isométricas, debido a que as súas curvaturas de Gauss non coinciden. Por exemplo, un tubo cilíndrico e un plano(o tubo “desenrolado”)son localmente isométricos, e ámbalas súas curvaturas de Gausss son constantemente nulas. Porén, unha esfera de raio ten unha curvatura constante de (atendendo á orientación do normal), mentres que un plano ten unha curvatura constante , polo que estas dúas superficies non son isométricas, nin tan sequera localmente. Polo tanto, calquera representación plana de calquera parte dunha esfera debe distorsionar as distancias, chegando así a que ningunha proxección cartográfica da Terra pode ser perfecta. Resulta interesante apreciar que este argumento pode ser empregado para resolver outras cuestións igual de interesantes.
É habitual pensar que a outra implicación tamén é certa, cando non é así. Un exemplo de superficies que verifican ter a mesma curvatura de Gauss, e non ser isométricas, son o helicoide e a superficie de revolución xerada pola gráfica do logaritmo neperiano.
Un corolario interesante do teorema egregium de Gauss é que as isometrías locais deben levar puntos elípticos en puntos elípticos, acontecendo analogamente para os hiperbólicos. Teorema de Gauss-Bonnet O teorema de Gauss-Bonnet relaciona a curvatura total dunha superficie coa súa característica de Euler e proporciona un vínculo importante entre as propiedades xeométricas locais e as propiedades topolóxicas globais.
.
Superficies de curvatura constante miniatura|Dúas superficies que teñen curvatura de Gauss positiva en todo punto, pero con fronteiras abertas ou puntos singulares.
O teorema de Minding (1839) establece que todas as superficies coa mesma curvatura constante son localmente isométricas. Unha consecuencia do teorema de Minding é que calquera superficie cuxa curvatura sexa identicamente cero pode construírse dobrando algunha rexión plana. As devanditas denomínanse superficies desarroiables. Minding tamén expuxo a cuestión de se unha superficie pechada cunha curvatura positiva constante é necesariamente ríxida. O teorema de Liebmann (1900) respondeu á pregunta de Minding. As únicas superficies pechadas regulares (de clase ) en con curvatura de Gauss positiva constante son esferas. Se unha esfera se deforma, esta non pode quedar como unha esfera, demostrando que tal superficie é ríxida. A proba máis estendida emprega o lema de Hilbert, que afirma que os puntos non umbilicais(nos que se satisfai ) con curvatura principal extrema teñen curvatura de Gauss non positiva.. O teorema de Hilbert (1901) establece que non existe unha superficie regular analítica completa (clase ) en con curvatura de Gauss negativa constante. De feito, a conclusión tamén se aplica ás superficies de clase inseridas en . O teorema deixa de ser certo para superficies de clase . A pseudoesfera ten unha curvatura de Gauss negativa constante excepto no seu círculo límite, onde a curvatura de Gauss non está definida.
Hai outras superficies que teñen unha curvatura de Gauss positiva constante. Manfredo do Carmo considera superficies de revolución, cuxa parametrización é do tipo , onde , e(unha integral elíptica incompleta de segunda especie). Todas estas superficies teñen unha curvatura de Gauss constante , mais para calquera , estas teñen unha fronteira ou un punto singular. Do Carmo tamén dá tres exemplos diferentes de superficie con curvatura de Gauss negativa constante, entre os cales se menciona á pseudoesfera.