Os Elementos de Euclides (grego: Στοιχεῖα) é un tratado matemático e xeométrico constituído por trece libros escrito polo matemático grego Euclides en Alexandría contra o ano 300 a.C.
Engloba unha colección de definicións, postulados (axiomas), proposicións (teoremas e construcións) e probas matemáticas das proposicións. Nestes trece volumes Euclides recompila gran parte do saber matemático da súa época, representado no sistema axiomático coñecido como Postulados de Euclides os cales, dunha forma sinxela e lóxica, deron lugar á xeometría euclidiana.
Parece que Euclides pretendía reunir tres grandes descubrimentos do seu tempo: a teoría das proporcións de Eudoxo (Os Elementos. Libro V), a teoría dos irracionais de Teeteto e a teoría dos cinco sólidos regulares, que ocupaba un lugar importante na cosmoloxía de Platón.
Coa excepción de Sobre a esfera movente de Autolycus de Pitane, os Elementos é o tratado grego sobrevivente máis antigo Boyer, Carl B. (1991): A History of Mathematics. Second Edition, ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, Inc. Capítulo "Euclid of Alexandria", páx. 101: Coa excepción da Esfera de Autolycus, a obra de Euclides constitúe o tratado matemático grego sobreviventes máis antigo; aínda así, máis da metade do que Euclides escribiu se perdeu. e contén o tratamento axiomático-dedutivo sobrevivente máis antigo da matemática.Ball, W. W. Rouse (1960): A Short Account of the History of Mathematics. 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed. New York: Dover Publications. É unha obra fundamental na construción da lóxica e da ciencia moderna.
Os Elementos de Euclides é o libro de máis éxito Encyclopedia of Ancient Greece (2006), por Nigel Guy Wilson, páxina 278. Publicada por Routledge Taylor e Francis Group: Os Elementos de Euclides constituíron a base de toda a educación matemática, non só nos períodos romano e bizantino, senón chegando incluso ao propio século XX, e pode afirmarse que é o libro didáctico de maior éxito nunca escrito.Boyer, Carl B. (1991): A History of Mathematics. Second Edition ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, Inc. Capítulo "Euclid of Alexandria", páxina 100: Como profesores para a súa escola chamou a un grupo dos mellores académicos, entre os cales o autor do máis fabulosamente exitoso libro didáctico de matemática nunca escrito, os Elementos (Stoichia) de Euclides. e influente Boyer, Carl B. (1991): A History of Mathematics. Second Edition ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, Inc. Capítulo "Euclid of Alexandria", páxina 119: Os Elementos de Euclides non só foi o máis antigo traballo matemático que sobreviviu até nós, senón que tamén foi o mellor libro didáctico de todos os tempos. [...] As primeiras versións impresas dos Elementos apareceron en Venecia en 1482, sendo un dos primeiros libros de matemáticas en imprimirse; estímase que desde entón polo menos se publicaron mil edicións. Talvez ningún outro libro, coa excepción da Biblia, pódese gabar de ter tantas edicións, e certamente ningunha obra de matemáticas tivo unha influencia comparábel á dos Elementos de Euclides. xamais escrito. Imprimiuse por primeira vez en Venecia en 1482, é foi un dos primeiros traballos de matemática en seren impresos despois da invención da imprenta e, despois da Biblia, foi o libro que máis edicións alcanzou (máis de 1.000).<ref>Boyer, Carl B. (1991): A History of Mathematics. Second Edition ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, Inc. Capítulo "Euclides of Alexandria", páx. 119.</ref>Hendrik Bunt, Lucas Nicolaas, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (1988): The Historical Roots of Elementary Mathematics. Dover Publications, páxina 142: Os Elementos foi coñecido na Europa Occidental a través dos árabes. Alí, convertéronse na base da educación matemática. Coñécense máis de 1.000 edicións dos Elementos. Con toda seguridade é, xunto á Biblia, o libro máis difundido na civilización occidental. Usouse como un texto básico en xeometría en todo o mundo occidental durante 2.000 anos. Ao longo séculos, cando o quadrivium estaba incluído no currículo dos estudantes de todas as universidades, o coñecemento deste texto, ou polo menos de parte del, exixíase a todos os estudantes. Non foi até o século XX cando, aínda o seu contido era ensinado universalmente nos libros didácticos, deixou de ser considerado algo que todas as persoas educadas deberían ler.Ball (1960). E aínda hoxe é utilizado por algúns educadores como introdución básica da xeometría.
Historia esquerda|miniatura|230px|Capa dunha tradución latina de Adelardo de Bath dos Elementos de Euclides, ca. 1309–1316; a tradución latina máis antiga sobrevivente.
Proclo, un matemático grego que viviu varios séculos despois de Euclides, escribiu no seu comentario dos Elementos: "Euclides, que recompilou os Elementos, recollendo moitos dos teoremas de Eudoxo, perfeccionando moitos dos de Teeteto e tamén proporcionando demostracións irrefutábeis de cousas que foran só debilmente probadas polos seus predecesores".
A pesar de ser coñecido por figuras como Cicerón, por exemplo, non existe rexistro sobrevivente do texto de que fora traducido para o latín antes de Boecio no século V ou VI. Os árabes coñeceron Os Elementos a través dos bizantinos, aproximadamente en 760; esta versión, de Proclo, foi traducida para o árabe baixo Harum al Rashid contra o ano 800.Russell, Bertrand. A History of Western Philosophy.
A primeira edición impresa apareceu en 1482 (baseada na edición en latín de Giovanni Campano de 1260), que foi usada por Pedro Nunes (1502-1578), que a citou varias veces nos seus escritos. Consultado o 20 de xullo de 2011.
En 1570, John Dee escribiu un "Prefacio Matemático", amplamente respectado, xunto con numerosas notas e material suplementario á primeira edición inglesa de Henry Billingsley. E en 1576, Rodrigo de Zamorano publicou a primeira edición en castelán.
En 1768, Angelo Brunelli publicou unha tradución en lingua portuguesa dos Libros I, VI, XI e XII, usando a tradución latina de Frederico Comandino incluíndo as notas desta versión, da autoría de Roberto Sinson (1687-1768). miniatura|dereita|Fragmento dos Elementos encontrado ao final do século XIX entre os Papiros de Oxirrinco, datados en ca. 100 d.C. O diagrama acompaña a Proposición 5 do Libro II dos Elementos. Pola falta de espazos entre as palabras, e por estar estas partidas ao final das liñas, crese que foi escrito por alguén que non era un escriba profesional, posibelmente para uso persoal. Actualmente encóntrase no Museo de Arqueoloxía e Antropoloxía da Universidade de Pensilvania. Consultado o 20 de xullo de 2011.
Este libro foi moi empregado nas escolas portuguesas, con novas edicións en 1790, 1792, 1824, 1835, 1839, 1852, 1855 e 1862. Pero nesta época xa había outros libros de xeometría, didacticamente máis adecuados para o ensino, notabelmente Éléments de Géométrie de Legendre, que tamén foi traducido para o portugués e moi usado nas escolas brasileiras. Consultado o 20 de xullo de 2011.
Aínda existen copias do texto grego, algunhas delas na Biblioteca do Vaticano e na Biblioteca Bodleiana, en Oxford. Os manuscritos dispoñíbeis son de calidade variábel, e sempre incompletos. A través dunha análise minuciosa dos orixinais e das traducións, elaboráronse hipóteses sobre o contido dos textos orixinais (que están todos perdidos).
Textos antigos que se refiren aos Elementos e a outras teorías matemáticas da época de Euclides tamén son importantes neste proceso. Tales análises foron realizadas por J. L. Heiberg e Sir Thomas Little Heath nas súas edicións do texto. Tamén son importantes as scholia, ou anotacións ao texto. Estes arrequececementos, que case sempre se distinguían do propio texto (dependendo do manuscrito), gradualmente foron acumulándose ao longo do tempo dependendo do que os opinantes pensaban que merecía ser explicado ou elucidado. Algunhas delas son útiles e contribúen ao texto, e outras non.
As copias máis antigas sobreviventes son un exemplar (datado en 888 d.C.) que formaba parte da biblioteca do bispo Aretas de Cesarea (na Capadocia), e baseábase nunha edición con comentarios e arrequecementos de Teón de Alexandria, un matemático do século IV (pai da famosa filósofa e matemática Hipatia.
En 1808 foi "descuberto" na Biblioteca do Vaticano un exemplar datado nos séculos IX ou X, pero baseado nunha versión anterior á de Teón, o que permitiu interesantes comparacións. Consultado o 20 de xullo de 2011.
Un texto difícil A pesar de que Os Elementos son considerados hoxe como un texto elemental sobre xeometría, non foi sempre así. Cóntase que o rei Tolomeo pediu unha vía para a xeometría que fose máis curta do que os Elementos. Euclides respondeu que "non hai camiño real para a xeometría." Euclid, Elements (ed. Thomas L. Heath) Consultado o 20 de xullo de 2011. Máis recentemente, Sir Thomas Little Heath escribiu na introdución da edición de 1932 da editora Everyman's Library:
"A simple verdade é a de que non foi escrito para nenos e nenas en idade escolar, senón para homes crecidos que tiveran o coñecemento e a capacidade de xuízo necesarios para apreciar os asuntos altamente controvertidos que deben ser abordados en calquera tentativa de estabelecer os puntos esenciais da xeometría euclidiana como un sistema lóxico...".Heath: Everyman's Library "Euclid" Introduction Consultado o 20 de xullo de 2011.
A primeira pasaxe difícil do Libro I chámase de pons asinorum, que en latín significa "ponte de burros" (tradicionalmente, é difícil facer que as burros crucen unha ponte).Oxford Philosophy Dictionary.
Influencia dos Elementos Os Elementos aínda están considerados como a ópera prima da aplicación da lóxica á matemática. No contexto histórico comprobouse que foi enormemente influente en moitas áreas da ciencia.
Os científicos Nicolao Copérnico, Johannes Kepler, Galileo Galilei e Sir Isaac Newton foron influídos polos Elementos e aplicaron os seus coñecementos á súa obra. miniatura|300px|Unha proba dos Elementos: dado un segmento de recta, existe un triángulo equilátero que inclúe o segmento como un dos seus lados. A proba é por construción: un triángulo equilátero ΑΒΓ constrúese deseñando os círculos Δ e Ε centrados nos puntos Α e Β, e tomando unha intersección do círculo como o terceiro vértice do triángulo.
Matemáticos e filósofos como Bertrand Russell, Alfred North Whitehead e Baruch Spinoza intentaron crear os seus propios "elementos" fundamentais das súas respectivas disciplinas, adoptando as estruturas dedutivas axiomatizadas introducidas pola obra de Euclides.
O éxito dos Elementos debeuse primeiramente á presentación lóxica da maior parte do coñecemento matemático dispoñíbel para Euclides. Moito do material non está formado por ideas orixinais del, a pesar de que moitas das probas si o son. O desenvolvemento sistemático do seu traballo, dun pequeno corpo de axiomas de profundos resultados, e a consistencia da súa abordaxe ao longo dos Elementos fixo deste libro o principal texto didáctico durante máis de 2.000 anos.
Os Elementos aínda teñen influencia sobre os libros modernos de xeometría. Alén diso, a súa abordaxe axiomática lóxica e as súas probas rigorosas son recoñecidas como válidas aínda hoxe.
A pesar de que os Elementos so principalmente un libro de xeometría, tamén inclúe resultados que serían clasificados hoxe como teoría dos números. Euclides probabelmente escolleu describir resultados obtidos na teoría dos números en termos de xeometría porque non conseguiu desenvolver unha abordaxe construtiva para a aritmética.
Unha construción usada en calquera das probas de Euclides requiría unha proba que fose verdadeiramente posíbel. Iso evitaba o problema que os pitagóricos encontraron cos irracionais, unha vez que as súas probas falaces xeralmente requirían situacións do tipo "Encontre a maior medida común de..."
Resumo dos Elementos Principios fundamentais