Matemáticas (ou matemática; do grego μαθηματικός, mathēmatikós, 'o que aprende', que á súa vez deriva de μάθημα, máthēma, 'coñecemento', 'estudo', 'aprendizaxe') é o estudo abstracto de cuestións que abranguen os conceptos de cantidade, estrutura, espazo, cambio, e outras propiedades; se ben non hai unha definición xeralmente aceptada.
Os matemáticos buscan padróns e formulan novas conxecturas das que tratan de establecer a súa verdade ou falsidade mediante unha demostración matemática. Cando as estruturas matemáticas son bos modelos de fenómenos reais, o razoamento matemático pode axudar a comprender e facer predicións sobre a natureza.
Por medio da abstracción e do razoamento lóxico, as matemáticas desenvólvense a partir da acción de contar, o cálculo, a medida, e o estudo sistemático das formas e os movementos dos obxectos físicos. A práctica das matemáticas ven sendo unha actividade humana polo menos desde que existen documentos escritos. A resolución dos problemas matemáticos pode levar séculos de investigación continuada. O razoamento rigoroso aparece por primeira vez na matemática grega, especialmente nos Elementos de Euclides. Desde os traballos pioneiros a finais do século XIX de Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) e outros acerca dos sistemas axiomáticos, fíxose habitual ver a investigación matemática como a busca da verdade mediante a dedución rigorosa a partir de axiomas e definicións elixidos axeitadamente. As matemáticas desenvolvéronse dun xeito relativamente lento ata o Renacemento, momento no que as innovacións matemáticas interactúan cos novos descubrimentos científicos para dar lugar a un rápido incremento do número de achados matemáticos que continúa no presente.
Sobre as matemáticas Galileo Galilei (1564–1642) dixo: miniatura|Il Saggiatore, obra de Galileo Galilei publicada en Roma en 1623 na que se destaca a importancia das matemáticas para entender o universo. Carl Friedrich Gauss (1777–1855) referíase ás matemáticas coma "a raíña das ciencias". Benjamin Peirce (1809–1880) chamaba ás matemáticas "a ciencia que obtén conclusións necesarias"*. David Hilbert opinaba que "de ningunha maneira estamos a falar aquí de arbitrariedades. As matemáticas non son como un xogo no que as tarefas están determinadas por regras arbitrariamente estipuladas. Pola contra, é un sistema conceptual cunha necesidade interna de que só poida ser así e de ningún outro modo." Albert Einstein (1879–1955) afirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade". A matemática francesa Claire Voisin sinala que "hai un pulo creativo nas matemáticas, é todo acerca do movemento que intenta manifestarse"
As matemáticas son unha ferramenta esencial en moitos campos do saber, incluídas as ciencias naturais, a enxeñería, a medicina e as ciencias sociais. A matemática aplicada, a rama das matemáticas á que lle concirnen as aplicacións dos coñecementos matemáticos a outros campos, inspírase e fai uso dos novos descubrimentos matemáticos, os cales conducen ao desenvolvemento de novas disciplinas matemáticas, coma a estatística e a teoría de xogos. Os matemáticos tamén se implican na matemática pura sen teren en mente ningunha aplicación práctica, só polo pracer de facer matemáticas. Porén non hai unha liña clara de separación entre a matemática pura e a aplicada e con frecuencia descóbrense aplicacións prácticas a aquilo que comezou sendo matemática pura.
Etimoloxía miniatura|Pitágoras escribindo música no fresco A Escola de Atenas de Rafael. A palabra matemáticas quere dicir "o que se aprende". Vén do grego μαθηματικός, mathēmatikós, "o que aprende", palabra derivada de μάθημα, máthēma, "coñecemento, estudo, aprendizaxe". O filósofo neoplatónico Iámblico, na súa obra De vita pythagorica, explica que na comunidade pitagórica había dúas clases de membros: os matemáticos, mathēmatikoi (coñecedores), cos que Pitágoras compartía o coñecemento; e os acusmáticos, akousmatikoi (oidores), os membros da irmandade que tamén compartían os coñecementos pero dun xeito superficial, sen profundar nas súas razóns.
Ata arredor do ano 1700, o vocábulo matemáticas tiña como acepción máis común o de "astroloxía" (ou, ás veces, "astronomía"); o significado foi cambiando gradualmente ata o actual entre aproximadamente 1500 e 1800. Isto provocou erros nas traducións e interpretacións erróneas: é particularmente notoria a advertencia que fai Agostiño de Hipona aos cristiáns prevíndoos dos mathematici co significado de astrólogos o cal, nalgunhas traducións, se interpreta como unha condena das matemáticas.
Definicións de matemáticas A definición dada por Aristóteles das matemáticas como "a ciencia da cantidade" prevaleceu ata o século XVIII. A chegada do século XIX supuxo un aumento do rigor no estudo das matemáticas, nacendo novas disciplinas abstractas coma a teoría de grupos e a xeometría proxectiva nas que non quedaba clara a relación entre cantidade e medida. Como consecuencia, matemáticos e filósofos comezaron a propor novas definicións. Algunhas destas definicións resaltan o carácter dedutivo de moita da matemática, outras salientan a súa abstracción, e hainas que destacan certa temática da propia matemática. Hoxe en día, mesmo entre os matemáticos profesionais, non hai consenso sobre que definición debe prevalecer. Máis aínda, non hai consenso sobre se a matemática é unha arte ou unha ciencia. Un gran número de matemáticos non teñen interese nunha definición das matemáticas, ou considéranas indefiníbeis. Algúns din que "Matemáticas é o que fan os matemáticos".miniatura|esquerda|Aristóteles, cuxa definición das matemáticas estivo vixente durante máis de 2.000 anos, e o seu mestre Platón, representados no fresco de Rafael A Escola de Atenas.
Os tres tipos principais de definición das matemáticas reciben o nome de loxicista, intuicionista e formalista, cada unha reflectindo diferentes escolas filosóficas de pensamento. Ningunha ten unha ampla aceptación e non parece posíbel unha teoría única que as englobe. miniatura|Bertrand Russell, un dos fundadores do loxicismo, na UCLA en abril de 1940 Unha definición temperá en termos de lóxica, "a ciencia que obtén conclusións necesarias", deuna Benjamin Peirce en 1870, se ben foron Bertrand Russell e Alfred North Whitehead quen estableceron as bases do proxecto filosófico coñecido coma loxicismo, tentando probar que todos os conceptos, afirmacións e principios matemáticos poden ser definidos e probados en termos da lóxica simbólica. A definición de Bertrand Russell de 1903, "toda a matemática é lóxica simbólica", é unha definición loxicista.
As definicións intuicionistas, desenvolvidas a partir do traballo do filósofo das matemáticas Luitzen Egbertus Jan Brouwer, identifican as matemáticas con certos fenómenos mentais. Un exemplo de definición intuicionista é: "Matemática é a actividade mental que consiste en tirar conclusións sucesivas, unha tras outra". Unha peculiaridade do intuicionismo é que rexeita algunhas ideas matemáticas consideradas válidas segundo outras definicións. En particular, mentres que outros filósofos das matemáticas permiten obxectos dos que se pode probar a súa existencia, mesmo se non poden ser construídos, os intuicionistas só aceptan obxectos matemáticos que realmente poden ser construídos.
As definicións formalistas identifican as matemáticas cos seus símbolos e as regras operativas sobre eles. Haskell Curry define as matemáticas simplemente como "a ciencia dos sistemas formais". Un sistema formal é un conxunto de símbolos e regras que indican como se combinan os símbolos para formar fórmulas. A palabra axioma ten un significado especial nos sistemas formais, diferente do seu significado ordinario de "verdade evidente per se". Nos sistemas formais, un axioma é unha combinación de símbolos incluído nun sistema formal sen necesidade de deducilo usando as regras do sistema.
A inspiración, as matemáticas pura e aplicada, e a estética miniatura|Eugene Wigner (á esquerda con Alvin Weinberg) falaba da irrazoábel eficacia das matemáticas nas ciencias miniatura|O matemático inglés Godfrey Harold Hardy xustificaba facer matemáticas simplemente pola súa estética. É moi posíbel que a arte do cálculo fose desenvolvida antes mesmo ca escritura, relacionada fundamentalmente co comercio, a agrimensura, a arquitectura e, posteriormente, a astronomía. Actualmente, todas as ciencias aportan problemas que estudan matemáticos, ao mesmo tempo que aparecen novos problemas dentro das propias matemáticas. Por exemplo, o físico Richard Feynman inventou a integral de camiños da mecánica cuántica, usando unha combinación do razoamento matemático e unha visión física; e a actual teoría de cordas, que aínda está a ser desenvolvida e que trata de unificar as catro forzas fundamentais, continúa inspirando novas matemáticas. Algunhas matemáticas só son relevantes na área na que estaban inspiradas e son aplicadas para outros problemas nese campo. Mais acotío as matemáticas inspiradas nunha área concreta resultan útiles en moitos ámbitos, e inclúense dentro do corpus xeral de conceptos matemáticos. Frecuentemente faise unha distinción entre a matemática pura e a matemática aplicada. Así a todo, a matemática pura ten con frecuencia aplicacións prácticas coma, por exemplo, a teoría de números na criptografía. Este notábel feito é o que Eugene Wigner definiu como «a irrazoábel eficacia das Matemáticas nas Ciencias Naturais». Como na maioría dos campos do saber, a explosión de coñecementos na era científica levou á especialización: hoxe en día hai centos de áreas especializadas en matemáticas, a última clasificación MSC ten 46 páxinas. Varias áreas das matemáticas aplicadas fusionáronse con outros campos tradicionalmente fóra das matemáticas para se converter en disciplinas independentes, como poden ser a estatística, a investigación de operacións ou a informática.
Para aqueles que senten predilección polas matemáticas hai, con frecuencia, un aspecto estético que define á maioría das matemáticas. Moitos matemáticos falan da elegancia das matemáticas, a súa estética intrínseca e beleza interna. En xeral a simplicidade está moi valorada. Hai beleza nunha demostración simple e elegante, como na demostración de Euclides de que hai infinitos números primos, e nunha elegante análise numérica que acelera o cálculo, así como na transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy na súa obra Apoloxía dun Matemático, expresa a crenza de que estas consideracións estéticas son, en si mesmas, suficientes para xustificar o estudo da matemática pura. Hardy sinala criterios como a relevancia, o inesperado, a inevitabilidade e a economía como factores que contribúen a unha estética matemática. Decotío os matemáticos esfórzanse por achar demostracións que sexan particularmente elegantes, probas que están no "Libro", segundo palabras do prolífico matemático húngaro Paul Erdős. A popularidade das matemáticas recreativas é outro signo do pracer que moita xente sente resolvendo problemas matemáticos.
Notación, linguaxe e rigor miniatura|350px|esquerda|Exemplo de notación matemática complexa nunha obra de Russell, no punto concreto onde deduce que 1+1=2.