Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (Bhinmal, Raxastán, 589 – 668) foi un matemático e astrónomo indio que escribiu dúas obras importantes de matemáticas e astronomía: o Brahmasphuṭasiddhanta (Tratado Extensivo de Brahma) (628), un tratado teórico, e o Khaṇḍakhadyaka, un texto máis práctico.
Hai razóns para crer que Brahmagupta era oriúndo de Bhillamala (actual Bhinmal) no imperio de Harsha. Debido a iso, Brahmagupta é frecuentemente denominado Bhillamalacarya, "o mestre de Bhillamala".
Foi o director do observatorio astronómico de Ujjain, o máis antigo e importante da India na súa época, e durante a súa estadía alí escribiu catro libros sobre matemática e astronomía: os dous anteriormente mencionados, o Cadamekela e o Durkeamynarda. Os textos de Brahmagupta teñen un certo aire poético pois están escritos en versos elípticos, práctica habitual entre os matemáticos indios daquel tempo.
Brahmagupta está considerado como o pai da aritmética, da álxebra e da análise numérica. A aritmética moderna usada actualmente espallouse pola India e por Arabia e, de alí, pasou a Europa. Inicialmente coñecíase como Al Hind (en árabe) e como Modus Indoram (en latín). Modus Indoram significa "método dos indios" e converteuse na aritmética usual, substituíndo aos numerais romanos e aos métodos baseados no ábaco. A adición, a subtracción, a división e outras operacións fundamentais usando numerais árabes apareceron na súa obra Brahmasputhasiddhanta (628).
O seu traballo tivo un impacto significativo nas construcións matemáticas. Brahmagupta popularizou o concepto do cero (na súa obra aparece por primeira vez esta noción), sendo o primeiro en dar regras para operar con el. Tamén definiu regras para a aritmética con números negativos en termos moi parecidos aos da matemática moderna. A maior diverxencia estriba en que Brahmagupta intentou definir a división por cero, considerada inexistente na matemática moderna. A súa definición de cero como un número era adecuada, agás o feito de considerar 0/0 igual a 0, en contra da opinión actual de que esa cantidade non pode definirse.
En 628, Brahmagupta proporcionou a primeira solución xeral para a ecuación de segundo grao.
Está considerado como o máis grande dos matemáticos da época, porén descoñécese as fontes das matemáticas de Brahmagupta.
Vida e obra miniatura|250px|Reloxo de sol do observatorio de Ujjain, do que foi director Brahmagupta. Nos versos 7 e 8 do capítulo XXIV do Brāhmasphuṭasiddhānta dise que Brahmagupta escribiu este texto á idade de 30 no ano 550 Śaka (que corresponde ao ano 628 d.C.), durante o reinado de Vyāghramukha. Dedúcese diso que naceu no ano 598. Os narradores refírense a el como un grande estudoso de Bhillamala, actual Bhinmal, unha cidade no estado de Rajasthan no noroeste da India, e naqueles tempos centro do poder dos Gurjars. Seu pai era Jisnugupta. Probabelmente viviu a maior parte da súa vida en Bhillamala durante o reinado, e posibelmente baixo o mecenado, do rei Vyaghramukha O Paitamahasiddhanta tamén inspirou directamente outro importante siddhanta, escrito por un contemporáneo de Bhaskara: O Brahmasphutasiddhanta (Tratado Corrixido de Brahma), completado por Brahmagupta en 628. Este astrónomo naceu en 598 e aparentemente traballou en Bhillamal (identificado co moderno Bhinmal en Rajasthan), durante o reinado (e posibelmente baixo o mecenado) do rei Vyaghramukha.Aínda que non se sabe se Brahmagupta coñeceu o traballo do seu contemporáneo Bhaskara, el certamente sabía dos escritos doutros membros da tradición do Aryabhatiya, dos cales non tiña nada bo que dicir. Este é case o primeiro indicio que temos das rivalidades, e ás veces antagonismos, entre as distintas "escolas" de astrónomos-matemáticos indios [...] foi na aplicación dos modelos matemáticos aos modelos físicos -neste caso, a elección dos parámetros astronómicos e as teorías- onde xurdiron desacordos [...]Tales críticas aos traballos rivais aparecen ocasionalmente ao longo dos primeiros dez capítulos astronómicos do Brahmasphutasiddhanta, e o capítulo undécimo está enteiramente dedicado a elas. Mais non aparecen nos capítulos matemáticos que Brahmagupta dedicou respectivamente a ganita (capítulo 12) e o pulverizador (capítulo 18). Esta división dos temas matemáticos reflicte unha clasificación dobre diferente da de "matemáticas dos campos" e "matemáticas das cantidades" feita por Bhaskara. No seu lugar, a primeira división concirne con operacións aritméticas, comezando pola adición, proporción, interese, series, fórmulas para calcular lonxitudes, áreas e volumes en figuras xeométricas, e varios procedementos con fraccións -en resumo, diversas regras para operar con cantidades coñecidas-. Por outra banda, a segunda trata do que Brahmagupta chama "o pulverizador, cero, negativos, positivos, incógnitas, eliminación do termo medio, redución a unha [variábel], bhavita [o produto de dúas incógnitas], e a natureza dos cadrados [ecuacións indeterminadas de segundo grao]" -isto é, técnicas para operar con cantidades descoñecidas-. Esta diferenciación preséntase máis explicitamente en posteriores traballos como as matemáticas do "evidente" e as do "oculto", respectivamente: é dicir, o que máis adiante será chamado manipulacións "aritméticas" de cantidades coñecidas e manipulacións "alxébricas" das chamadas "sementes" de cantidades descoñecidas. A última, por suposto, debe incluír problemas xeométricos e outros temas non cubertos pola definición moderna de "aritmética" (ao igual que Aryabhata, Brahmagupta relegou as súas táboas sinusoidais ao capítulo de astronomía, onde eran necesarias para os cálculos, no canto de incluílo con outros temas "matemáticos").. En consecuencia, refírese con frecuencia a Brahmagupta como o Bhillamalacharya, é dicir, o mestre de Bhillamala. Foi o director do observatorio astronómico de Ujjain, e durante o seu mandato escribiu catro textos de matemáticas e astronomía: o Cadamekela en 624, o Brahmasphutasiddhanta en 628, o Khandakhadyaka en 665, e o Durkeamynarda en 672. O Brahmasphutasiddhanta (Tratado Extensivo de Brahma) é para algúns a súa obra máis famosa. O historiador musulmán al Biruni (c. 1050), no seu libro Tariq al-Hind, afirma que o califa abbásida al-Ma'mun tiña unha embaixada na India que mercou e enviou a Bagdad un libro que foi traducido ao árabe co título Sindhind. Está xeralmente aceptado que Sindhind é a tradución do Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta "Polo ano 766 tivemos coñecemento de que o traballo matemático-astronómico, coñecido polos árabes por Sindhind, chegou a Bagdad desde a India. É crenza común que é o Brahmasphuta Siddhanta, aínda que debeu ser o Surya Siddhanata. Uns poucos anos máis tarde, quizais sobre o 775, este Siddhanata traduciuse ao árabe, e non foi ata algo máis tarde (ca. 780) que se traduciu ao árabe o Tetrabiblos de Tolomeo"..
Aínda que Brahmagupta esta familiarizado cos traballos astronómicos que seguían a tradición do Aryabhatiya, non se sabe se estaba familiarizado coas obras de Bhaskara I, contemporáneo seu. Brahmagupta fixo abundantes críticas dirixidas aos traballos dos astrónomos rivais, e no seu Brahmasphutasiddhanta áchase un dos primeiros cismas entre matemáticos indios. O primeiro motivo de división foi pola maneira de aplicar as matemáticas ao mundo físico, máis que polas propias matemáticas. No caso de Brahmagupta, os desacordos proviñan en gran medida pola elección dos parámetros astronómicos e as teorías. As críticas as teorías rivais aparecen ao longo dos primeiros dez capítulos de astronomía, e o capítulo undécimo está enteiramente dedicado ás críticas destas teorías, se ben non aparecen críticas nos capítulos 12 e 18.
Álxebra Brahmagupta deu a solución da ecuación linear xeral no capítulo 18 do Brahmasphutasiddhanta:
a cal é a solución da ecuación equivalente a , onde rupas refírese ás constantes c e e.
Posteriormente deu dúas solucións equivalentes para a ecuación cadrática xeral:
as cales son, respectivamente, solucións da ecuación equivalentes a:
e
Continuaba resolvendo sistemas de ecuacións indeterminadas, establecendo que a variábel desexada debe ser despexada, e logo a ecuación debe ser dividida polo coeficiente da variábel desexada. En particular, recomendaba o uso do "pulverizador" para resolver ecuacións con moitas incógnitas:
A álxebra de Brahmagupta, como a de Diofanto, era sincopada. A suma indicábase colocando os números un ao lado doutro. A resta mediante un punto sobre o subtraendo, e a división colocando o divisor baixo o dividendo de modo semellante á nosa notación actual pero sen a raia. Multiplicación, evolución, e cantidades descoñecidas representábanse mediante abreviaturas ou termos axeitados "foi o primeiro en dar unha solución xeral da ecuación linear diofantiana , onde a, b e c son enteiros [...] É un gran mérito de Brahmagupta o ter dado todas as solucións da ecuación linear diofantiana, considerando que Diofanto se conformaba con dar unha solución particular dunha ecuación indeterminada. É máis aínda, como Brahmagupta usaba os mesmos exemplos que Diofanto, vemos de novo a máis que probábel influencia grega na India -ou a posibilidade de que ambos fixeran uso dunha fonte común, posibelmente Babilonia-. É interesante mencionar que tamén a álxebra de Brahmagupta, como a de Diofanto, era sincopada. A suma indicábase por xustaposición, a resta colocando un punto sobre o subtraendo, e a división colocando o divisor baixo o dividendo, como na nosa notación tradicional pero sen a raia. As operacións da multiplicación e da evolución (o cálculo de raíces), así como as cantidades descoñecidas, representábanse por abreviaturas de palabra axeitadas.". O alcance da influencia grega nesta sincopación, se a houbo, non é coñecida e é posíbel que tanto a sincopación grega como a india derivaran dunha fonte babilonia común.
Aritmética As catro operacións básicas (suma, resta, multiplicación e división) eran coñecidas por moitas culturas anteriores a Brahmagupta. O sistema actual está baseado no sistema de numeración indo-arábico que apareceu por primeira vez no Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta describe a multiplicación así: "o multiplicando repítese como unha corda para o gando, tan a miúdo como hai partes integrantes do multiplicador e é repetidamente multiplicado por elas e os produtos engádense conxuntamente. Isto é multiplicación. Ou o multiplicador repítese tantas veces como hai partes compoñentes do multiplicador"Brahmasputha Siddhanta, Traducido ao inglés por H.T Colebrook, en 1.817. A aritmética india foi coñecida na Europa medieval como "Modus Indoram" que significa "Método dos indios". No Brahmasphutasiddhanta, noméase a multiplicación como Gomutrika. Ao comezo do capítulo 12 do Brahmasphutasiddhanta, titulado Cálculo, Brahmagupta detalla as operacións con fraccións. Está escrito para lectores que se supón coñecen as operacións aritméticas básicas incluído o cálculo da raíz cadrada, porén explica como calcular o cubo e a raíz cúbica dun enteiro e máis adiante dá regras que facilitan o cálculo de cadrados e raíces cadradas. Posteriormente proporciona regras para manexarse con cinco tipos de combinacións de fraccións Aparentemente agárdase que o lector esté familiarizado coas operacións aritméticas básicas incluída a raíz cadrada; Brahmagupta só indica algúns puntos acerca da aplicación ás fraccións. Porén, descríbense os procedementos para achar o cubo e a raíz cúbica dun enteiro (dun xeito moi similar a como o fixera Aryabhata). Seguen regras para cinco tipos de combinacións: [...]
, , , , e .
Series Brahmagupta continúa logo a dar a suma dos cadrados e cubos dos primeiros n enteiros:
Aquí Brahmagupta achou o resultado en termos da suma dos primeiros n enteiros, no canto de facelo en termos de n como se fai na práctica moderna Aquí as sumas dos cadrados e cubos dos primeiros n enteiros defínense en termos da suma dos propios n enteiros;.