miniatura|300px|A gráfica da función logarítmica de base 2 atravesa o eixo horizontal en x=1, é dicir, pasa polo punto (1,0). Outros puntos polos que pasa son o (2,1), (4,2) e (8,3). En xeral, pasa polos puntos da forma (2a,a) xa que log2(2a)=a. Por exemplo, pasa por (8,3) porque log28=log2(23)=3. O logaritmo dun número positivo x nunha certa base b, é o expoñente y ao que hai que elevar a base para obter o número dado. A base de logaritmos b ten que ser un número positivo distinto de un.
Abreviadamente o logaritmo exprésase por log, indicando a continuación a base como un subíndice e lese "logaritmo en base b de x". Así:
logbx=y se by=x
Por exemplo, o logaritmo de 1000 en base 10 é 3 (log101000=3) pois 103=1000.
Obsérvese que unha igualdade logarítmica vai asociada a unha igualdade exponencial equivalente. Isto débese a que a función logarítmica é a inversa da función exponencial da mesma base para a composición de funcións.
Hai certas bases de logaritmos moi usadas, dando lugar a logaritmos con nome propio. Así: Os logaritmos de base 10 chámanse logaritmos vulgares ou decimais. Teñen moitas aplicacións en ciencia e enxeñaría. Adoitase a non escribir a base, así se se escribe logx, enténdese que é o logaritmo decimal de x. Os logaritmos de base e levan o nome de logaritmos naturais ou neperianos na honra do introdutor dos logaritmos, o matemático escocés John Napier. Son amplamente usados na matemática pura, especialmente no cálculo infinitesimal. Non se acostuma a usar a expresión habitual, loge, senón ln ou L. Os logaritmos de base 2 reciben a denominación de logaritmos binarios e se usan profusamente na ciencia informática. Ademais da notación habitual, log2, úsase tamén lb.
Os logaritmos foron introducidos por John Napier a comezos do século XVII como unha ferramenta para simplificar cálculos. Foron adoptados rapidamente por navegantes, científicos, enxeñeiros e outros profesionais para realizar cálculos máis facilmente, usando regras de cálculo e táboas de logaritmos. As tediosas multiplicacións de números con moitas cifras podían facerse cunha simple suma dos logaritmos dos números a multiplicar, cuxos valores mirábanse na táboa de logaritmos; finalmente mirábase na táboa o número cuxo logaritmo era a suma achada, que viña a ser o produto que se buscaba. Isto débese a unha propiedade importante dos logaritmos, a cal di que o logaritmo dun produto é igual á suma dos logaritmos dos factores. Análogas propiedades permiten simplificar os cálculos das divisións, as potencias e as raíces.
A actual notación dos logaritmos ideouna Leonhard Euler no século XVIII ao relacionar as funcións exponencial e logarítmica.
As escalas logarítmicas reducen un amplo rango de cantidades a outras de máis pequeno alcance. Por exemplo, o decibelio é unha unidade logarítmica que mide a presión sonora. En química, o pH dunha solución acuosa é unha medida logarítmica da súa acidez. Os logaritmos son comúns nas fórmulas científicas, na medida da complexidade dun algoritmo informático e na medida dos fractais, describen intervalos musicais, aparecen en métodos de contaxe de números primos, informan sobre algúns modelos en psicofísica, e poden axudar na peritaxe forense.
Do mesmo xeito que a función logarítmica é a inversa da función exponencial, a función logarítmica complexa é a inversa da función exponencial complexa. O logaritmo discreto é outra variante con aplicacións na criptografía de chave pública.
Motivación e definición A idea da operación consistente en calcular logaritmos é a de ser a operación inversa da exponenciación, isto é, a operación de calcular a potencia dun número. Por exemplo, a terceira potencia (ou cubo)de 2 é 8, porque 8 é o produto de tres factores iguais a 2:
Disto séguese que o logaritmo de 8 en base 2 é 3: log2 8 = 3.
Exponenciación A terceira potencia dun número b é o produto de tres factores iguais a b. Máis xeralmente, elevar b á potencia, onde n é un número natural, é multiplicar n factores iguais a b. A potencia de b escríbese bn, polo tanto
A exponenciación pode estenderse a by, onde b é un número positivo e o expoñente y é calquera número real. Por exemplo, b−1 é o inverso ou recíproco de b para a operación da multiplicación, é dicir, é .
Definición O logaritmo dun número real positivo x con respecta a unha base b positiva e distinta de 1, é o expoñente ao que hai que elevar a base b para obter o número x. Noutras palabras, o logaritmo de x en base b é a solución y da ecuación:
O logaritmo denótase por "logb(x)", léndose "o logaritmo en base b de x". Na ecuación y = logb(x), o valor y é a resposta á pregunta "A que expoñente hai que elevar b para obter x?". Esta cuestión pode tamén formularse (cunha resposta máis enriquecedora) no corpo dos números complexos.
Exemplos Por exemplo, , xa que 16.
Os logaritmos poden tomar tamén valores negativos, como no exemplo:
pois
Un terceiro exemplo: log10(150) é aproximadamente 2.176, valor comprendido entre 2 e 3 pois 150 áchase entre cuxo logaritmo é 2, e que ten de logaritmo 3.
Finalmente, para calquera base b, e , pois e , respectivamente.
Identidades logarítmicas
Algunhas fórmulas importantes, tamén chamadas identidades ou leis logarítmicas, relacionan distintas operacións cos logaritmosTodas as fórmulas desta sección poden verse en calquera libro de matemáticas elementais, por exemplo en , en , ou en . Produto, cociente, potencia e raíz O logaritmo do produto de dous números é igual á suma dos logaritmos de cada factor. O logaritmo do cociente de dous números é a diferenza entre o logaritmo do numerador e o do denominador. O logaritmo dunha potencia é igual ao expoñente multiplicado polo logaritmo da base. O logaritmo dunha raíz é igual ao logaritmo do radicando dividido polo índice da raíz. Estas propiedades están listadas na seguinte táboa con exemplos: Fórmula Exemplo Produto Cociente Potencia Raíz
Cambio de base miniatura|200px|As teclas dos logaritmos decimais e naturais nunha calculadora. O logaritmo logb(x) pode calcularse a partir dos logaritmos de x e b con respecto a unha base arbitraria k usando a seguinte fórmula, coñecida como fórmula do cambio de base:
As calculadoras científicas típicas calculan só logaritmos decimais (base 10) e naturais (base e). Os logaritmos con respecto a calquera outra base b poden determinarse tomando na fórmula anterior como valor de k calquera das dúas bases que usa a calculadora:
Se na fórmula de cambio de base facemos k=x, obteremos:
de onde, intercambiando os logaritmos, resulta:
elevando a x cada un dos membros desta última igualdade obtense a seguinte expresión:
que permite calcular unha base b descoñecida cando se coñece un número x e o seu logaritmo nesa base, logb(x).
Bases particulares De entre tódalas eleccións posíbeis para a base, tres son as máis xeneralizadas. Son b = 10, b = e (o número irracional de valor aproximado ≈ 2.71828), e b = 2. En análise matemática, o logaritmo de base e úsase amplamente debido á súas particulares propiedades analíticas. Por outro lado, os logaritmos en base 10 son fáciles de usar nas operacións manuais no sistema de numeración decimal, grazas á igualdade: log10(10x)=log10(10)+log10(x)=1+log10(x), deste xeito o logaritmo dun número, log10(x), está relacionado co número de cifras dun enteiro positivo x: o número destas cifras é o enteiro máis pequeno estritamente maior que log10(x). Por exemplo, o log10(1430) é aproximadamente 3.15. O seguinte enteiro é 4, que é o número de cifras de 1430. O logaritmo en base 2 úsase na ciencia da computación, onde se traballa en sistema binario; e na teoría musical, na que está omnipresente unha proporción tonal de dúas oitavas e o cent é o logaritmo binario da razón entre dous tons (multiplicado por 1200).
A seguinte táboa contén as notacións máis comúns para os logaritmos nestas bases e os campos onde se usan. En moitas disciplinas escríbese log(x) no canto de logb(x) cando a base pode deducirse do contexto. Ás veces aparece a notación blog(x). A columna "Notación ISO" mostra as designacións recomendadas pola Organización Internacional para a Estandarización (norma ISO 31-11).
Base bNome para logb(x)Notación ISOOutras notaciónsUsado en2 logaritmo binario lb(x) ld(x), log(x), lg(x), log2(x) ciencia da computación, teoría da información, matemáticas, teoría musicale logaritmo natural ou neperiano ln(x) L,log(x) (en matemáticas e en moitas linguaxes de programaciónPor exemplo C, Java, Haskell, e BASIC.) análise matemática, física, química,estatística, economía, e algúns campos da enxeñaría10 logaritmo decimal ou vulgar lg(x) log(x), log10(x)(en enxeñaría, bioloxía, astronomía) varios campos da enxeñaría (ex: decibelio), táboas de logaritmos, calculadoras científicas, espectroscopia
Historia Precedentes Nalgún momento entre o 2000 e o 1600 a.C. os babilonios deberon inventar un algoritmo para multiplicar dous números usando unicamente a suma, a resta e unha táboa das cuartas partes de cadrados de números. O algoritmo di que o produto de dous números é igual á diferenza entre a cuarta parte do cadrado da suma dos dous e a a cuarta parte do cadrado da súa resta, como facilmente se pode demostrar:
A partir de 1817 elaboráronse grandes táboas de cuartas partes de cadrados de números para poder aplicar este algoritmo, de amplo uso ata a aparición dos ordenadores.
O matemático indio Virasena traballou co concepto de ardhaccheda: o número de veces que se pode facer a metade dun número da forma 2n. Para as potencias de 2 é o logaritmo do número, cuxo valor é enteiro; para outros números, é indefinido. Describiu relacións como a fórmula do logaritmo do produto e tamén introduciu os logaritmos enteiros en base 3 (trakacheda) e en base 4 (caturthacheda)
En 1544, Michael Stifel publicou en Nuremberg Arithmetica integra, onde aparecía unha táboa de enteiros e potencias de 2 que está considerada como unha versión temperá dunha táboa de logaritmos.
Nos séculos XVI e XVII usábase un algoritmo para aproximar a multiplicación e a división, chamado prosthaphaeresis, que usaba a identidade trigonométrica
ou outra similar para converter multiplicacións e divisións en consultas nunha táboa. Porén, os logaritmos son máis directos e requiren menos traballo. Usando a fórmula de Euler pode mostrarse que as dúas técnicas están relacionadas.
De Napier a Euler miniatura|200px|John Napier (1550–1617), o inventor dos logaritmos. O método de logaritmos naturais foi proposto inicialmente en 1614, nun libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrición da marabillosa regra dos logaritmos), por John Napier (latinizado Neperus), Barón de Merchiston en Escocia, que naceu en Edimburgo en 1550, e morreu na mesma cidade en 1617. Joost Bürgi, un matemático e reloxeiro suízo, ó servizo do Duque de Hesse-Kassel, concibiu por vez primeira os logaritmos, mais publicou os seus achados seis anos despois que Napier.
Johannes Kepler, quen usou as táboas de logaritmos extensivamente para compilar a súa obra Ephemeris, dedicada a Napier, sinalou:
miniatura|200px|esquerda|Portada do libro de Napier Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, editado en 1614 e no que dan a coñecer os logaritmos. Mediante sucesivas restas Napier calculou para L desde 1 a 100. O resultado para L=100 é aproximadamente 0.99999 = 1 − 10−5. Napier calculou entón os produtos deses números con para L desde 1 a 50, e fixo o mesmo con e . Estes cálculos, que lle ocuparon 20 anos, permitíronlle dar, para calquera número N desde 5 a 10 millóns, o número L que é solución da ecuación:
Nun principio, Napier chamou a L "número artificial", pero máis tarde púxolle o nome "logaritmo" para significar un número que indica unha proporción: do grego λόγος (logos), proporción, e ἀριθμός (arithmos), número . En notación moderna, a relación para os logaritmos naturais é:
onde a aproximación máis próxima corresponde á observación de que: