250px|mini|desno|Zbroj udaljenosti točke T od stranica jednakostraničnog trokuta ABC jednak je duljini visine tog trokuta, tj. vrijedi Vivianijev teorem je rezultat u euklidskoj geometriji koji je početkom 18. stoljeća dokazao talijanski matematičar Vincenzo Viviani.
Teorem tvrdi da je za bilo koju izabranu točku unutar jednakostraničnog trokuta zbroj udaljenosti točke od stranica trokuta jednak visini tog trokuta.Vivianijev teorem
Dokaz preko površina Neka su i nožišta okomica iz točke na stranice i trokuta , a visina trokuta . Prikažimo površinu trokuta pomoću zbroja površina tri trokuta .
Odovuda slijedi
Zanimljivosti Zanimljivo je da se Vivianijev teorem može poopćiti i na pravilne mnogokute.
Naime, vrijedi da je zbroj udaljenosti bilo koje točke pravilnog n-terokuta do njegovih stranica neovisan o položaju točke .
Dokaz. Ako su stranice pravilnog n-terokuta duljine , a udaljenosti od točke do stranica tog n-terokuta , tada je površina poligona jednaka , dakle vrijedi
Može se dokazati da generalizacija Vivianijeva teorema vrijedi i za poligone kojima su svi unutarnji kutovi sukladni, tj. za tzv. ekviangularne poligone.
250px|mini|središte|Poopćenje Vivianijeva teorema na pravilne mnogokute
Izvori
Kategorija:Matematika