mini|200px|David Hilbert David Hilbert (23. siječnja 1862. – 14. veljače 1943.) bio je njemački matematičar, priznat kao jedan od najutjecajnijih i najsvestranijih matematičara devetnaestog i ranog dvadesetog stoljeća. Otkrio je velik broj fundamentalnih ideja u teoriji invariantnosti, aksiomatizaciji geometrije i pojam Hilbertovog prostora jednog od osnova funkcijske analize. Hilbert je prilagodio i branio Kantorovu teoriju skupova i teoriju beskonačnih brojeva.

Poznat primjer njegovog rada u matematici je njegova prezentacija 1900. godine gdje je predstavio zbirku od 23 problema koja je odredila smjer istraživanja u matematici tijekom 20. stoljeća. Sa svojim studentima dao je značajan doprinos u osnovama kvantne mehanike i teorije relativnosti. Također je poznat kao jedan od utemeljitelja teorije dokaza, matematike logike i razlikovanja između matematike i metamatematike.

Životopis Davida Hilberta mini|180px|Mladi Hilbert Hilbert je bio jedini sin Otta i Marije Therese (Erdtmann) Hilbert, rođen u Wehlau (Znamensk) kraj Königsberga u tadašnjoj Pruskoj. U jesen 1872. upisuje Friedrichskolleg gimnaziju (istu školu koju je 140 godina prije njega pohađao Immanuel Kant), ali se 1879. prebacio i 1880. završio znanstveno orijentiraniju gimnaziju u Wilhelmu. U jesen iste godine upisuje fakultet u Königsbergu. Tamo se sprijateljio s talentiranim Hermannom Minkowskim.

Godine 1884. Adolf Hurwitz, s fakulteta u Göttingen, postaje izvanredni profesor na fakultet u Königsbergu. Od tada njihova međusobna razmjena znanstvenih ideja ima značajan utjecaj na njihove znanstvene karijere. Hilbert je doktorirao 1885. godine, s dizertacijom "O nepromjenjivim svojstvima posebnih binarnih formi, s naglaskom na sferne harmonijske funkcije" (njem. Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen).

Na istom fakultetu ostaje kao profesor od 1886. do 1895. godine. Oženio se 1892. s Käthe Jerosch s kojom je imao jednog sina. Godine 1895. na nagovor Felixa Kleina dolazi na poziciju predstojnika katedre za matematiku na fakultetu u Göttingenu, u to vrijeme najboljem centru za znanstvena istraživanja u području matematike na svijetu, gdje ostaje do umirovljenja 1930. godine. Njegov najbolji prijatelj, Minkowski umire 1909. godine.

Göttingenska škola mini|180px|Hilbertov grob s natpisom Među Hilbertovim učenicima bili su: Hermann Weyl, šahovski prvak Emanuel Lasker, Ernst Zermelo, Carl Gustav Hempel i kasnije poznati matematičari: Otto Blumenthal (1898.), Felix Bernstein (1901.), Richard Courant (1910.), Erich Hecke (1910.), Hugo Steinhaus (1911.), Wilhelm Ackermann (1925.). Na fakultetu je okružen s nekima od najznačajnijih matematičara 20. stoljeća, kao što su Emmy Noether i Alonzo Church. Između 1902. i 1939. Hilbert je urednik „Mathematische Annalen“, vodećeg matematičkog časopisa toga vremena.

Kasnije godine života Hilbert je doživio nacističke progone mnogih uvaženih članova fakulteta 1933. godine, među njima i Hermanna Weyla, koji ga je naslijedio na katedri nakon umirovljenja 1930. godine. Njemačku je morao napustiti i Paul Bernays, njegov suradnik na području matematičke logike i koautor značajne knjige Die Grundlagen der Mathematik (izdane 1934. i 1939. godine). To je bio nastavak knjige Hilberta i Ackermanna Načela teorijske logike iz 1928. godine. Do Hilbertove smrti 1943. godine, nacisti su otjerali većinu znanstvenika s fakulteta tako da je njegovom sprovodu prisustvovala samo nekolicina akademika.

Na njegovom spomeniku u Göttingenu, piše:

Mi moramo znati. Mi ćemo znati.

Hilbertov osnovni teorem Hilbertov prvi rad na nepromjenljivim funkcijama doveo ga je 1888. do poznatog teorema konačnosti. Dvadeset godina ranije, Paul Gordan je demonstrirao teorem o konačnosti generatora binarnih oblika koristeći vrlo komplicirane proračune koji su onemogućili poopćavanje same metode na funkcije s više od dvije varijable. Hilbert je uočio potrebu sasvim drugačijeg pristupa. Kao rezultat demonstrirao je „Hilbertov osnovni teorem“ koji pokazuje postojanje konačnog skupa generatora neovisno o broju varijabli, u apstraktnom obliku.

Hilbertov osnovni teorem kaže da ako je k polje, tada je svaki ideal u prstenu sastavljenom od više varijabilnih polinoma. k[x1, x2, ..., xn] konačno generiran. Gledano u algebarskoj geometriji, algebarski skup nad k može biti opisan kao zajednički skup rješenja konačno mnogo polinomijalnih jednadžbi.

Hilbert je došao do dokaza kontradikcijom koristeći se matematičkom indukcijom. Njegova metoda nam ne daje algoritam koji će proizvesti konačno mnogo osnovnih polinoma za dani ideal, nego samo pokazuje njihovo postojanje.

Jednostavnija verzija Hilbertovog osnovnog teorema nam kaže: ako je R lijevi ( odnosno desni) Noetherian prsten, tada polinomijalni prsten R[X] je isto lijevi (odnosno desni) Noetherian. Za , ako je , an ≠ 0, tada degf: = n i an je vodeći koeficijent od f. Neka I bude ideal u R[x] i pretpostavimo da I nije konačno generiran.Tada induktivno konstruiramo niz f1,f2,... elemenata od I takav da fi + 1 ima minimalan stupanj među elementima od , gdje je Ji ideal generiran od f1,...,fi.

Neka je ai vodeći koeficijent od fi i neka je J ideal od R generiran od niza a1,a2,.... Pošto je R Noetherian postoji N takav da je J generiran od a1,...,aN. Zbog toga za neke . Postigli smo kontradikciju ako znamo gdje je ni = degfN + 1 − degfi, zbog degg = degfN + 1 i njihovi vodeći koeficijenti odgovaraju, tako da je fN + 1 − g strogo manjeg stupnja od degfN + 1, a to je u kontradikciji s izborom fN + 1. Na taj način dobivamo da je I konačno generiran. Pošto smo za I uzeli proizvoljan ideal u R[x], svaki ideal u R[x] je konačno generiran i slijedi da je R[x] Noetherian.

To je bio dokaz postojanja konačnog skupa generatora, a ne proračun i oslanjao se na zakonu ekskluzivne sredine u beskonačnosti. Objavljivanje tog rada u Mathematische Annalen mu je odbijeno s razlogom da nije sveobuhvatan i potpun te da se uopće ne radi o matematici. Hilbert je u sljedećem članku, kojeg opet šalje u Annalen, proširio svoju metodu dajući proračune o maksimalnom stupnju minimalnog seta generatora. Taj rad je ocijenjen kao najznačajnije djelo u području opće algebre koje je časopis ikada objavio.

Aksiomatizacija geometrije U tekstu Osnove geometrije (njem. Grundlagen der Geometrie) koju objavljuje 1899. Hilbert predlaže set tzv. Hilbertovih aksioma kojima zamjenjuje tradicionalne Euklidove aksiome. Ti aksiomi ispravljaju slabosti uočene kod Euklidovih aksioma koji su se do tada koristili doslovce kao što su napisani. Neovisno o Hilbertu devetnaestgodišnji student Robert Lee Moore je objavio jednaki set aksioma. Neki od njih se podudaraju a neki odgovaraju teoremima u hilbertovom setu i obrnuto. Hilbertov pristup označio je prebacivanje na modernu aksiomatsku metodu.Aksiomi se vise ne uzimaju kao istiniti sami po sebi.

Geometrija može tretirati stvari, o kojima imamo snažnu intuiciju, ali nije nužno pridijeliti ekplicitno značenje nedefiniranim konceptima. Elementi kao što su: točka, dužina, ravnina i ostali mogu se zamijeniti, kao što je Hilbert rekao stolovima, stolicama, čašama piva i ostalim takvim objektima. Bitan je samo njihov definirani odnos.

Hilbert prvi označava nedefinirane koncepte: točka, linija, ravnina, leži na (odnos između točaka i ravnina), između, kongruencija parova točaka i kongruencija kutova. Aksiomi ujedinjavaju geometriju ravnine i geometriju prostora u jedan sistem.

Hilbertova 23 problema Hilbert je prezentirao, u obliku govora „ Problemi Matematike“, listu neriješenih problema na internacionalnom kongresu matematičara u Parizu 1900. godine, koju je kasnije proširio na 23 problema. Tim govorom je želio zaokružiti matematički jako uspješno 19. stoljeće i predvidjeti razvoj matematike u budućnosti. Tom prilikom je rekao:

“Ako vjerujem u razvoj matematičkog znanja u bliskoj budućnosti, moramo se pozabaviti nedovršenim pitanjima i riješiti probleme koje zadaje današnja znanost, a čija rješenja očekujemo.” “Znamo da svako stoljeće nosi svoje probleme koje sljedeće stoljeće rješava ili zamjenjuje novim.” “Kraj sjajne epohe poziva nas da se osvrnemo na prošlost, ali i da pogledamo u nepoznatu budućnost.”

Hilbert je smatrao da su dva najveća dostignuća u prethodnom stoljeću: razvoj aritmetike kontinuuma, kojoj su doprinijeli Cauchy, Bolcano i Cantor, i prihvaćanje neeuklidske geometrije Gausa, Bolyaia i Lobačevskog.

Njegovi problemi su jako različiti. Neki su toliko opširni da predstavljaju cijela područja koja treba istražiti. Drugi su pak puno konkretniji i riješeni su jako brzo. Ima ionih koji su riješeni suprotno Hilbertovim očekivanjima, ali i onih o kojima se i danas jako malo zna.

Hilbert je probleme podijelio u četiri grupe. U prvoj se nalazi šest osnovnih problema, drugih šest se odnosi na njegovo istraživanje teorije brojeva, treća grupa od šest problema predstavlja mješavinu algebarskih i geometrijskih problema. Posljednjih pet problema oslikavaju Hilbertove interese.

Sam Hilbert, kao ni njegovi učenici, nije se previše bavio rješavanjem ovih problema, već se posvetio izučavanju Hilbertovog prostora. Međutim, problemi su bili jako brzo prihvaćeni od strane mladih matematičara, koji su svoja istraživanja usmjerili u pravcima koje je Hilbert i predvidio. Značaj ovih problema može se vidjeti i u tome što je rješavanje bilo kojeg od njih bilo povod za proslave i dodjele nagrada. Hilbert je vjerovao da “dokle god neka grana znanosti nudi mnoštvo problema, dotle će i živjeti” pa je u tom duhu izložio svoje probleme.

nekoliko primjera problema:

Rješivost Diofantove jednadžbe Da li je moguće razviti algoritam koji će moći pokazati da li se dana Diofantova jednadžba, s proizvoljno mnogo nepoznatih i s racionalnim koeficijentima, riješiti u konačno mnogo koraka? npr..linearna Diofantova jednadžba

Na kraju se ispostavilo da se ne može razviti takav algoritam.

Pitanje aksiomatizacije fizike Istraživanjima u samim osnovama geometrije nameće se problem: da li je moguće promatrati, kao aksiome, ona saznanja u fizici u kojima matematika igra bitnu ulogu; tu se prije svega misli na teoriju relativnosti i mehaniku. Hilbert je smatrao da bi bilo dobro kada bi njihova praktična saznanja bila logična nadogradnja teorije koja je zasnovana na usuglašenim aksiomima. Nije riješen.

Problem topologije algebarskih krivulja i površina Nije riješen

Hilbertovi problemi su postali svojevrsni manifest koji je otvorio put razvoju formalističke škole, jedne od tri glavne matematičke škole 20. stoljeća. Prema formalistima, matematika je igra lišena značenja u kojoj se igra sa simbolima bez značenja prema formalnim pravilima koji su dogovoreni unaprijed. To je autonomna igra misli. Ipak postoje sumnje da je Hilbertov način promatranja bio formalistički u ovom smislu.

Hilbertov program Hilbert je 1920. predložio istraživački projekt koji je postao poznat kao Hilbertov program. Želio je da se matematika formulira na čvrstoj i potpunoj logičkoj podlozi. Vjerovao je da se u principu ovo može učiniti pokazujući: da sva matematika proizlazi iz ispravno odabranog konačnog sistema aksioma da je takav sistem aksioma dokazivo konzistentan kroz neke karakteristike kao što je račun epsilona

Ovaj program je prepoznatljiv u popularnoj filozofiji matematike gdje se obično naziva formalizam. Naprimjer, Bourbaki (skupina francuskih matematičara 20. stoljeća) grupa prihvatila je selektivnu verziju programa kao prikladnu za zahtjeve njihovog dvojnog projekta koji se sastojao od:pisanja pregleda temeljnih radova i podržavanje aksiomatske metode kao istraživačkog pomagala. Ovaj pristup bio je uspješan u vezi s Hilbertovim radovima u području algebre i funkcionalne analize, ali nije uspio privući interest na području fizike i logike.

Gödelov doprinos