U elementarnoj matematici i fizici, a napose u tehničkim primjenama, vektor najčešće označava veličinu koja ima iznos, smjer i orijentaciju, te zadovoljava pravila vektorskog računa. Taj se opis odnosi na veličine u trodimenzionalnom prostoru iz našeg svakodnevnog iskustva, koji u matematici najbolje opisuje tzv. Euklidski prostor. Vektori su uvedeni kao složenije veličine od skalara; skalari su u nevedenom kontekstu veličine koje imaju samo brojčanu vrijednost koja može biti pozitivna, 0 ili negativna, tj. opisuju se jednim realnim brojem. Za opis vektora u trodimenzionalnom prostoru potrebna su tri realna broja - npr. jedan za iznos i dva za smjer i orijentaciju (kutovi koji određuju položaj u prostoru prema koordinatnim osima), ili tri skalarne komponente u koordinatnom sustavu. Još složenije veličine od vektora su tenzori, preciznije tenzori drugoga reda i viših redova, koji se u trodimenzionalnom prostoru opisuju s 9, 27 ili više brojeva. U tenzorskom opisu, skalari su tenzori nultoga reda, a vektori su tenzori prvoga reda.
Formalno i općenito, međutim, pojam vektora se u matematici, pa i fizici, i u drugim primjenama, definira znatno apstraktnije. Pristup se najčešće temelji na definiciji vektorskog prostora iz linearne algebre gdje se koriste višedimenzionalni (pa i beskonačno dimenzionalni) prostori nad poljem realnih ili kompleksnih skalara. Ipak, i u te opće definicije ugrađene su analogije s gore navedenim slučajem iz "običnog" trodimenzionalnog prostora. Veći dio ovoga članka ukratko izlaže jedan od mogućih "matematičkih" opisa u prostoru od n dimenzija, no mnogi su rezultati izravno primjenjljivi na "obične" trodimenzionalne vektore.
Iako je to matematičko izlaganje "mekše" od punog formalizma linearne algebre (nije posve općenito, niti su formalno definirani svi korišteni pojmovi), ono ni u tome obliku nije posve blisko i neposredno upotrebljivo za razumijevanje relevantnih koncepata u najčešćim fizikalnim i tehničkim primjenama (a oslanja se i na "matematičku" terminologiju i simbole koji nisu uobičajeni u tehnici). Zato se prije te "matematičke opcije" ukratko opisuje koncept koji je bliži praktičnom "tehničkom" poimanju.
Operativni opis vektora za fizikalne i tehničke primjene Dok skalari imaju samo brojčanu vrijednost, vektori imaju iznos, smjer i orijentaciju. Iznos vektora je brojčana vrijednost koja ne može biti negativna (npr. iznos brzine je 5 m/s), a smjer i orijentaciju vektora možemo pokazati prstom (npr. gore, prema sjeveroistoku, itd). Preciznije, smjer je određen pravcem na kojemu leži vektor, a orijentacija govori prema kojoj strani pravca je vektor orijentiran (kamo upućuje vrh strelice u uobičajenom grafičkom predočavanju vektora). Takav je opis vektora ograničen na opažajni trodimenzionalni prostor. Tu su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, količina gibanja... a skalarne masa, temperatura, obujam.
Vektorska veličina obilježava se strelicom iznad simbola, npr. sila je (ili "masnim slovom", npr. F), dok se njezin iznos obilježava istim običnim slovom, npr. iznos sile je , jer se iz konteksta zna da to slovo označava silu koja je vektorska veličina. (U matematici se iznos vektora mora označiti vertikalnim crtama, npr. jer bi, općenito, slovo moglo označavati neku skalarnu veličinu koja nema veze s vektorima.)
Vektor se grafički prikazuje pomoću usmjerene dužine (pomoću dužine koja ima strelicu na jednom kraju). Ona pokazuje smjer i orijentaciju vektora, a njezina duljina je proporcionalna iznosu vektora. Umjesto načelne proporcionalnosti, iznos vektora može se grafički i precizirati, npr. tako da se naznači koliko njutna kod prikazane sile predstavlja 1 cm na skici. Neke se vektorske veličine doista i mjere u jedinicama za duljinu (npr. u centimetrima), pa ih usmjerena dužina u cijelosti opisuje (npr. vektor položaja još zvan i radijvektor, te vektor pomaka).
Vektorske veličine u fizikalnim primjenama uglavnom su slobodni vektori ("pravi" vektori), no neke mogu biti vezani vektori ili pak klizni vektori. Primjerice, kad sila djeluje na deformabilno tijelo, njezin učinak ovisi o tome u kojoj točki zahvaća tijelo: ona je vezani vektor (vezan za tu točku koja se zove hvatište sile). Kad sila djeluje na kruto tijelo, njezin učinak ovisi o pravcu na kojemu leži, ali duž njega može po volji "klizati", pa je klizni vektor. Zato silu prikazujemo kao usmjerenu dužinu koja "počinje" (ili "završava") u svome hvatištu. Drugi primjer vezanog vektora je vektor položaja koji je usmjerena dužina povučena iz referentne točke (ishodišta).
No, prilikom različitih matematičkih operacija sa silama i vektorima položaja (zbrajanje itd.), a kod većine drugih vektorskih veličina već i u samom prikazu, svejedno je gdje se pozicionira usmjerena dužina koja ih predstavlja: važan je samo iznos, smjer i orijentacija. To je svojstvo "slobodnih" ili "pravih" vektora: ako se usmjerena dužina translatira u prostoru, ona i dalje predstavlja isti vektor. Matematički rečeno, vektor je klasa usmjerenih dužina koje imaju isti iznos, smjer i orijentaciju. Vektor kojem je početak stavljen u izabranu točku tako je samo reprezentant (predstavnik) klase usmjerenih dužina s obzirom na translacije.
Zbrajanje vektora lijevo|mini|200px|Zbrajanje dvaju vektora desno|mini|160px|Zbroj tri vektora Postupak zbrajanja vektora najlakše je intuitivno razumjeti na primjeru zbrajanja sila po pravilu paralelograma, koji je navodno bio poznat još u antičko doba, a eksplicitno ga spominju i Galileo i Newton.Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dame Press, Notre Dame, Indiana (1967)
U donjem dijelu lijeve skice prikazano je zbrajanje vektora i po pravilu paralelograma, a u gornjem dijelu isti rezultat je dobiven "nadovezivanjem" vektora. Očito je da su rezultati jednaki, jer je prikazani trokut identičan gornjoj polovici paralelograma (a jednako se mogla koristiti i donja polovica). Nadovezivanje mogućuje jednostavnije zbrajanje većeg broja vektora (skica desno): nadovezuju se jedan na drugoga, a zbroj je usmjerena dužina koja "ide" od početka prvoga do kraja zadnjega.
I u jednom i u drugom primjeru zbrajanja, vektori su prikazani usmjerenim dužinama koje se mogu po volji translatirati (paralelno premještati) a da pritom i dalje predstavljaju iste vektore. Kod zbrajanja po paralelogramu, usmjerene dužine postavljaju se u istu početnu točku, a kod nadovezivanja početak druge se premješta u kraj prve. Važno je uočiti da rezultat ne ovisi o redoslijedu pribrojnika (zbrajanje vektora je komutativno), niti o njihovom grupiranju u slučaju više pribrojnika (zbrajanje vektora je asocijativno) zbog čega na skici desno nema zagrada u ispisu zbroja.
Neke veličine, kojima se osim iznosa može pridružiti i smjer, nisu vektori jer ne zadovoljavaju ta svojstva vektorskog računa. Primjerice, kutu zakreta može se pridružiti isti smjer koji ima (prosječna) kutna brzina, što je vrlo prikladno za njegovo opisivanje u prostoru; ali kutovi zakreta nisu vektori, zato što njihov zbroj ovisi o redoslijedu zbrajanja.
Rastavljanje vektora na komponente je obrnuti postupak od zbrajanja. Npr. za paralelogram s lijeve skice može se smatrati i da prikazuje rastav vektora na komponente i . Kao što rastav broja na pribrojnike nije jedinstven (npr. broj 9 se može rastaviti na 5+4 ali i na 6+3), tako to nije ni rastav vektora. U pravilu kod rastavljanja vektora na pribrojnike, tražimo rastav na zbroj vektora čiji su smjerovi unaprije poznati, ili koji zadovoljavaju neka posebna svojstva, poput međusobne okomitosti. Rastavljanje vektora na komponente često je potrebno za razumijevanje njihove uloge, a i znatno olakšava račun. desno|mini|200px|Množenje vektora skalarom
Množenje vektora skalarom; suprotni vektor Množenje vektora sa skalarom (brojem) je jednostavan postupak koji se intuitivno tumači na temelju zbrajanja vektora sa samim sobom: (taj rezultat se dobiva nadovezivanjem vektora na samoga sebe). Odatle se lako razumije poopćenje: kod množenja sa skalarom, množi se samo iznos vektora apsolutnom vrijednošću skalara, a rezultat je vektor istoga smjera i iste orijentacije ako je skalar pozitivan, odnosno vektor istog smjera i suprotne orijentacije ako je skalar negativan (skica desno). Specijalno, suprotni vektor od (vektor jednakog iznosa i smjera ali suprotne orijentacije) je vektor koji se dobije množenjem vektora sa skalarom -1.
Oduzimanje vektora lijevo|mini|130px|Oduzimanje vektora Oduzimanje vektora od vektora isto je što i dodavanje suprotnog vektora, tj. . Takav postupak grafički je prikazan niže u "matematičkom" dijelu teksta.
U mnogim praktičnim primjenama, međutim, prikladnije je koristiti postupak prikazan na skici lijevo. Vektori na koje treba primijeniti oduzimanje grafički se prikažu pomoću usmjerenih dužina povučenih iz iste točke, a njihovu razliku prikazuje usmjerena dužina koja spaja njihove vrhove i koja ima smjer prema onome vektoru od kojega se drugi oduzima.
Nije teško dokazati da usmjerena dužina doista jest tražena razlika: treba samo prinijeniti pravilo o zbrajanju vektora na prikazanu skicu. Skica se može interpretirati kao da prikazuje zbrajanje vektora , čiji rezultat očito mora biti (kad se makne zgrada) jednak vektoru , kao što crtež i pokazuje.
Komponente vektora desno|mini|300px|Rastav vektora na komponente u koordinatnom sustavu u ravnini Za mnoge primjene korisno je rastaviti vektorske veličine na komponente u koordinatnom sustavu. Na skici desno prikazan je rastav sile u Kartezijevom sustavu x,y na dvije komponente. Njezine vektorske komponente su vektori paraleni s koordinatnim osima, i , tako da je: .
Budući da su paralelne s koordinatnim osima, svaka od tih vektorskih komponenti može se opisati brojem (skalarom), kojim treba pomnožiti jedinični vektor odgovarajuće osi, ili . Jednični vektor ima iznos jednak jedinici i smjer pripadne osi, pa je:
a brojevi i zovu se skalarne komponente vektora duž osi x odnosno y. Na skici desno vidi se da je
Iz tako zadanih skalarnih komponenti, iznos vektora lako se izračuna pomoću Pitagorinog poučka
a smjer i orijentacija u ravnini x,y opisuju se pomoću kuta prema jednoj od koordinatnih osi. Na skici je označen kut prema osi x, na način uobičajen u tehničkoj praksi (za razliku od matematike), kao neorijentirani kut manji od 90°. Taj se kut može odrediti pomoću tangensa omjera skalarnih komponenti.
Obrnuto, ako bi bio poznat iznos vektora i kut , skalarne komponente za primjer sa skice računaju se kao
gdje se predznak skalarne komponente određuje sa skice, jer su trigonometrijske funkcije kuta manjega od 90° pozitivne. Važno je napomenuti da se u matematici kut koji vektor zatvara s x-osi obilježava u smjeru rotacije suprotne od kazaljke na satu. Na primjer, kut prikazan na slici, matematički bi bio označen negativnom vrijednošću. Time se izbjegava pojavljivanje predznaka (kojeg inače treba bilježiti ovisno o kontekstu) u prethodnim formulama. lijevo|mini|300px|Rastav vektora na komponente u koordinatnom sustavu u prostoru
U mnogim je praktičnim situacijama moguće promatrati vektore i njihove komponente samo u jednoj ravnini, kao na gornjoj skici. No, često promatrani vektori ne leže u istoj ravnini, pa je potrebno računati s njihovim komponentama duž sve tri osi (skica lijevo). Postupak rastavljanja na komponente u načelu je sličan, iako ima malo više računanja.
Vektor se pomoću skalarnih komponenti može zapisati na dva načina. Jedan je da se eksplicitno navedu jednični vektori koordinatnih osi, kako slijedi iz prethodnog opisa:
Drugi način je pomoću uređene trojke brojeva: navode se samo skalarne komponente u redoslijedu x,y,z :
U takvom zapisu, sila iz gornjeg ravninskog primjera prikazuje se kao .
U općenitijem matematičkom opisu u n-dimenzionalnom prostoru, vektori se obično prikazuju pomoću uređenih n-torki, a brojevi u njima nazivaju se komponentama ili koordinatama vektora u nekoj bazi prostora.