A konvolúció egy olyan művelet, amit függvényeken és disztribúciókon is értelmeznek.
A intervallumon értelmezett integrálható függvények konvolúcióján az integrállal definiált függvényt értik.
A konvolúciónak széles körű alkalmazásai vannak a valószínűségszámításban, a Fourier-sorok és a parciális differenciálegyenletek világában. Segítségével gyorsabban lehet számokat összeszorozni és egyes parciális differenciálegyenleteket megoldani.
A disztribúciókon így értelmezik a konvolúciót:
A függvénykonvolúció tulajdonságai A konvolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. Eredménye egy majdnem mindenütt értelmezett integrálható függvény, és
Jelölje a Fourier-transzformációt:
A valószínűségszámításban azért szeretik alkalmazni ezt a műveletet, mert így meg lehet kapni a független valószínűségi változók összegének eloszlását. Így be lehet látni, hogy a és a paraméterű független Poisson-eloszlások összege paraméterű Poisson-eloszlás, a független normális eloszlások összege is normális eloszlás lesz várható értékkel és szórásnégyzettel. darab független paraméterű exponenciális eloszlás összege -edrendű, paraméterű gammaeloszlás:
Diszkrét konvolúció A legtöbb függvény diszkrét a digitális jelfeldolgozásban, a valószínűségszámításban és a képfeldolgozásban. A diszkrét konvolúció képzési szabálya:
ahol az összegzés a két függvény értelmezési tartományának egyesítésén megy. Korlátos értelmezési tartomány esetén -et és -t azonosan nullának tekintik az eredeti értelmezési tartományán kívül.
Két polinom, formális hatványsor vagy véges főrészű Laurent-sor szorzatának együtthatói megadhatók az együtthatókból álló, esetleg nullákkal kibővített sorok diszkrét konvolúciójával. Az eredményül kapott végtelen soroknak csak véges sok nem nulla tagja lehet.
A diszkrét konvolúció hatékonyan számítható gyors Fourier-transzformációval.
A disztribúciók konvolúciójának tulajdonságai A disztribúciók definíciója A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:
Van része , supp , supp része Tetszőleges indexvektor esetén egyenletesen -n. Tulajdonságok Két disztribúció nem mindig konvolválható. A konvolúció kommutatív és lineáris, de nem asszociatív. Sőt, még a létezés sem következik. Ha az és a disztribúciók konvolválhatók, akkor tartója része és tartójának Minkowski-összegének.
A deriválással való kapcsolata miatt vezetik be:
Ha az és a disztribúciók konvolválhatók, akkor bármely parciális deriváltja megkapható az egyik disztribúció megfelelő parciális deriváltjának és a másik disztribúciónak a konvolúciójaként.
Elégséges feltételek a konvolúció létezéséhez Legyenek lokálisan integrálható függvények, és tekintsük a következő disztribúciókat: , és ahol és értelmezési tartománya. Ekkor és konvolválható. Ha és egyike kompakt tartójú, akkor és konvolválható, és ahol akárhányszor differenciálható, és a kompakt tartó egy környezetében. Legyenek és disztribúciók. Legyen az tartója egy féltér része, és legyen tartója egy olyan valódi konvex körkúp része, aminek tengelye párhuzamos normálisával. Ekkor ahol akárhányszor differenciálható, egy környezetében, és egy nagyobb -eltolt féltérben egy nagyobb -eltolt kúpban, és egy még nagyobb -eltolt kúpon kívül
Források Simon–Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek Gonda János: Véges testek Mogyoródi–Somogyi: Valószínűségszámítás jegyzet matematikus szakos hallgatóknak Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás Pál Lénárd: A valószínűségszámítás és a statisztika alapjai I–II. Bourbaki: Integration Kôsaku Yosida: Functional Analysis. Springer-Verlag, .
További információk 2D konvolúciós kernelek (maszkok) gyűjteménye A konvolúcióról Még néhány szó a konvolúcióról (magyar) Konvolúció. Gyakorlati példa: pozitronok élettartamspektruma.
Kategória:Funkcionálanalízis Kategória:Fourier-analízis