bélyegkép|jobbra|250px|Az inverzió definíciója 2 dimenzióban egy kör vagy 3 dimenzióban egy gömb esetén, melynek M a középpontja és R a sugara:
Az inverzió geometriai transzformáció, ami nem hasonlósági transzformáció, de az érintkezést megtartja.
Legyen kijelölve egy gömb az euklideszi térben; középpontját jelölje , sugarát . A gömbre vonatkozó inverzióban az pont képe megadható vektorosan: Másként: képe az a pont, ami az félegyenesen van, és a középponttól mért távolsága Ekkor az inverzió alapgömbje. A pont az inverzió középpontja vagy pólusa, az inverzió hatványa.
Tulajdonságai Négyzete az identitás, azaz egy pont invertált képének invertált képe önmaga. Fixpontjai az alapgömbjének pontjai. A középpontján átmenő hipersíkokat és az alapgömböt merőlegesen metsző gömböket önmagukba viszi. Megcseréli az alapgömb belsejét és külsejét. Nincs értelmezve a középpontjában. A végtelen távoli ponttal bővített térben a középpont a végtelenbe képződik. Gömb vagy hipersík képe gömb vagy hipersík. Szögtartó, érintkezéstartó a gömbök és hipersíkok körében. Az alacsonyabb dimenziós gömbök és alterek körében is szögtartó és érintkezéstartó. A középpontban érintkező gömbök és hipersíkok képei párhuzamos hipersíkok. A metsző altérre vett leszűkítése is inverzió. Ennek alapgömbje az inverzió alapgömbjéből kimetszett alacsonyabb dimenziós gömb. Irányításváltó.
A komplex számsíkon bélyegkép|jobbra|250px|A piros alapkör középpontján át nem haladó (balra) és áthaladó körök (jobbra) inverzei A 2-dimenziós, síkbeli inverzió tekinthető a komplex számokon értelmezett függvénynek. Különösen egyszerűen lehet tárgyalni az egységkörreAz egységkör a koordináta-rendszerbeli origó középpontú 1 sugarú kör. vett inverziót:
A komplex szám inverze
Így bizonyíthatók a síkbeli inverzió következő tulajdonságai: A középponton átmenő kör középponton át nem menő egyenesre képeződik Annak a körnek a képe, ami nem megy át a középponton, a középponton át nem menő kör Az inverzió nem reguláris függvény, mert megváltoztatja az irányítást. Másként: nem reguláris, mert előáll az és a konjugálás kompozíciójaként, és a konjugálás nem reguláris.
Jegyzetek
Források
Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek – inverzió értelmezése magasabb dimenzióban is Halász Gábor: Komplex függvénytan – az egységkörre vett inverzió a komplex számsíkon Reiman István: Geometria és határterületei – inverzió a komplex síkon tulajdonságokkal
Kategória:Geometriai transzformációk