A palindromszám vagy számpalindrom olyan számot (szűken értelmezve tízes számrendszerbeli természetes számot) jelent, amelynek számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk vissza. Ilyen szimmetrikus szám például a 16461. Maga a palindrom (régiesebb elnevezéssel palindróma) kifejezés általános értelemben a szójátékoknak, azon belül is az anagrammáknak egy fajtáját jelöli. Ilyen szó például a rotor, amely szó visszafelé olvasva is ugyanaz.
Az első néhány palindromszám (tízes számrendszerben): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292, 303, …
A palindromszámok nagy figyelmet kapnak egyes matematikai feladványokban.Az eredeti angol nyelvű szövegben a :en:recreational mathematics kifejezéssel éltek. Jellemzőek lehetnek például az olyan problémafelvetések, amelynek során olyan számok keresése a cél, amelyek egyrészt valamely jellegzetes, meghatározott tulajdonsággal bírnak és palindromok. Például: palindrom prímek sorozata: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, … palindrom négyzetszámok sorozata: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …
Buckminster Fuller a Szinergetika című könyvében a palindromszámokat – Az Ezeregyéjszaka meséi című gyűjteményben szereplő mesemondó lány után – Seherezádé-számoknak nevezi.
Könnyen belátható, hogy bármely palindromszám középső (páros számú számjegyből álló palindromszám esetén: középső kettő) számjegyének tetszőleges számú megismétlésével kapott szám szintén palindromszám. Például: 101, 1001, 10001, …
Az egyjegyű számok és az azonos számjegyekből álló számok palindromok. Bármely egész alapú számrendszerben végtelen sok palindromszám van, mert az azonos számjegyekből álló számok minden számrendszerben végtelen sorozatot alkotnak. Ilyenek például a repunitok, amiknek minden jegye 1. Az első néhány repunit 1, 11, 111, …
Definíció Habár többnyire tízes számrendszerben tekintik a palindromszámokat, a palindromtulajdonság bármely egész alapú számrendszerben felírt természetes számra is alkalmazható.
Tekintsük a b alapú számrendszerben felírt n > 0 számot, ahol is k+1 jegyű, és jegyei az ai számok:
ahol is 0 ≤ ai < b minden i-re, és ak ≠ 0. Az n szám palindrom akkor és csak akkor, ha ai = ak‒i minden i-re.
A 0 definíció szerint bármely számrendszerben palindromszám.
Egy másik, az előzővel ekvivalens definíció: Legyen rögzítve a tetszőleges b alap. Az n szám palindrom a b alapú számrendszerben, ha: n egyjegyű n kétjegyű, és számjegyei egyenlőek n legalább háromjegyű; az első számjegye egyenlő az utolsóval, és az első és utolsó számjegy elhagyásával kapott szám palindrom.
Palindromszámok a tízes számrendszerben A második ekvivalens definíció szerint minden egyjegyű szám palindrom. A kétjegyű palindromok száma 9: {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. A háromjegyű palindromok száma 90; a szorzatszabállyal az első jegy kilencféle lehet; ez meghatározza a harmadik jegyet. A második jegy az elsőtől függetlenül választható, és ez tízzel szorozza meg a lehetőségek számát: {101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999} Négyjegyű palindrom is 90 van, mert az első két számjegy meghatározza a másik két számjegyet is: {1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999}, így 199 palindromszám kisebb, mint 104.
105-ig 1099 létezik, és a többi 10n hatványra: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, … . A következő táblázatban számelméleti tulajdonságok szerint van listázva a palindromszámok száma:
101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 n természetes szám 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999 n páros 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889 n páratlan 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110 n négyzetszám 4 7 14 15 20 31 n köbszám 3 4 5 7 8 n prím 4 5 20 113 781 5953 n négyzetmentes 6 12 67 120 675 1200 6821 12160 + + n nem négyzetmentes (μ(n)=0) 4 7 42 79 424 799 4178 7839 + + n prímnégyzet 2 3 5 n páros sok különböző prím szorzata (μ(n)=1) 2 6 35 56 324 583 3383 6093 + + n páratlan számú különböző prím szorzata (μ(n)=-1) 4 6 32 64 351 617 3438 6067 + + n páros, és páratlan sok prímtényezője van 1 2 9 21 100 180 1010 6067 + + n páros, és páratlan sok különböző prímtényezője van 3 4 21 49 268 482 2486 4452 + + n páratlan, és páratlan számú prímtényezője van 3 4 23 43 251 437 2428 4315 + + n páratlan, és páratlan számú különböző prímtényezője van 4 5 28 56 317 566 3070 5607 + + n páros, négyzetmentes, és előáll páros sok prím szorzataként 1 2 11 15 98 171 991 1782 + + n páratlan, négyzetmentes, és páros számú prím szorzata 1 4 24 41 226 + + + + + n páratlan, és két prím szorzata 1 4 25 39 205 303 1768 2403 + + n páros, és két prím szorzata 2 3 11 64 413 + + n páros, és három prím szorzatára bomlik 1 3 14 24 122 179 1056 + + + n páros, és három különböző prím szorzata 0 1 18 44 250 390 2001 + + + n páratlan, és három prímtényező szorzata 0 1 12 34 173 348 1762 + + + n Carmichael-szám 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 n, aminek osztóösszeg-függvénye palindrom 6 10 47 114 688 1417 5683 + + +
Más számrendszerekben Palindromszámok más számrendszerben is értelmezhetők. Például a kettes számrendszerben: 0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, … tízes számrendszerbeli alakban 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … . A Mersenne-prímek a kettes számrendszerbeli palindrom prímszámok részsorozatát alkotják.
Általában az egyik számrendszerben palindrom szám nem palindrom egy másik számrendszerben; például 1646110 = 404D16. Az alsó index a számrendszereket jelöli. Vannak olyan számok, amik több számrendszerben is palindromok. Ilyen például a 10510: 12214< = 1518 = 7714 = 5520 = 3334.
Az 1991 tízes és tizenhatos számrendszerben is palindrom: 7C7.
A tizennyolcas számrendszerben hét néhány hatványa palindrom:
73 = 111 74 = 777 76 = 12321 79 = 1367631
A huszonnégyes számrendszerben 5 első nyolc hatványa palindrom:
51 = 5 52 = 11 53 = 55 54 = 121 55 = 5A5 56 = 1331 57 = 5FF5 58 = 14641 5A = 15AA51 5C = 16FLF61
Tetszőleges n szám palindrom minden olyan b alapú számrendszerben, ahol b ≥ n + 1, (egyjegyű) és az n‒1 alapú számrendszerben (11). Azokat a számokat, amik nem palindromok a 2 ≤; b < n ‒ 1 alapú számrendszerek egyikében sem, szigorúan nem palindrom számnak nevezik.
Repunitok, azaz csupa 1 számjegyekből álló számok négyzetre emelésével is lehet palindromszámokat kapni. Így például tízes számrendszerben:
1 × 1 = 1 11 × 11 = 121 111 × 111 = 12321 1111 × 1111 = 1234321 11111 × 11111 = 123454321 111111 × 111111 = 12345654321 1111111 × 1111111 = 1234567654321 11111111 × 11111111 = 123456787654321 111111111 × 111111111 = 12345678987654321
Nagyobb alapú számrendszerben tovább lehet folytatni.
Egy hasonló tulajdonság az, amikor egy szám megfordul, ha átváltják egy másik számrendszerbe.
A következő táblázat felsorolja azokat a számokat, amikről ismert, hogy tízes számrendszerből egy másik számrendszerbe írva megfordulnak:
AlapTízes számrendszerbenMás számrendszerben413317233246642.1166.11215.22662.2519445544313.725527.3133.454.4466.444.54312315.231132.513134334866877447716 (Hexadezimal)53353711735141141599.48118.4991921124224633684484411148822887.7211.2779.4711.74921551155912219227337511115258338283113622693399611693741148228465115556116647117738118829119
Lychrel-sejtés
A Lychrel-sejtés egy egyszerűnek látszó probléma. Veszünk egy kiindulási számot. Ezt összeadjuk a fordítottjával. Ezt addig ismételjük, amíg palindromszámot nem kapunk. Ez a Lychrel-algoritmus. A sejtés az, hogy bármely kezdőértékkel indulva az algoritmus véget ér. (Pl. 57-re 2 iteráció után véget ér: 57+75=132, 132+231=363.)
Vannak számok, amelyekre az algoritmus sokáig fut, mielőtt véget ér. Ilyen például a 196, amely egymilliárd iteráció után sem ad palindromszámot. Azok a számok, amelyekre az algoritmus bizonyítottan nem áll meg, a Lychrel-számok.
Elnevezésük más nyelveken A spanyol capicúa szó katalán eredetű, amiben a "cap" szó fejet, a "cúa" farkat jelent. Az "i" (és) szócska összekapcsolja a kettőt. Ezt a szót a spanyolból átvette a portugál is, és az egész spanyol világ, és a köznyelvben többnyire ezt, és nem a palindrom szót használják.
Jegyzetek
Források Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers: CRC Press 1986, , S. 61 (Limited Online-Version (Google Books))
Jason Doucette - 196 Palindrome Quest / Most Delayed Palindromic Number 196 and Other Lychrel Numbers On General Palindromic Numbers at MathPages Palindromic Numbers to 100,000 from Ask Dr. Math Palindromszámok a alapú számrendszerben Palindromszámok Játék az eggyel
Fordítás
Kategória:Nevezetes számsorozatok Kategória:Palindromok
pl:Palindrom#Palindromy liczbowe