A perdület, más néven impulzusnyomaték, vagy impulzusmomentum a klasszikus fizikában egy test forgási mozgásállapotát jellemző vektormennyiség.
Jele: N, mértékegysége a kg•m2/s, vagy az ezzel ekvivalens N•m•s. Jele a IUPAC dokumentumaiban L.
A kvantummechanikában az impulzusmomentum a hullámfüggvény forgatásokkal szembeni viselkedését leíró mennyiség. A nulla impulzusmomentum például azt jelenti, hogy a hullámfüggvény a forgatás során változatlan marad, azaz forgásszimmetrikus.
A klasszikus mechanikában Definíció Egy mozgó tömegpont adott pontra vonatkoztatott perdületét az alábbi kifejezés adja meg: , ahol a tömegpont adott vonatkoztatási pontból mért helyvektora, és a lendülete, azaz a tömeg és a sebesség szorzata.Holics László: Fizika, Akadémiai Kiadó, 2011
A vektorszorzat definíciója alapján az , a és az vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, és az impulzusnyomaték nagysága a következő szerint számolható: , ahol a helyvektor és az impulzus által bezárt szög.
Több tömegpontból álló rendszer adott pontra vonatkoztatott teljes perdülete az egyes pontok perdületeinek vektori eredője:
Merev testek rögzített tengely körüli forgása esetén az impulzusnyomatékot a fenti vektorszorzat helyett egyszerűbb alakban is felírhatjuk: , ahol a forgás szögsebessége és a test adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka.
A perdülettétel, azaz a perdület megváltozása és a forgatónyomaték bélyegkép|250px|A tömegpontra ható F erő τ forgatónyomatéka és a pont mozgásához tartozó p lendület, illetve L perdület
Legyen egy tömegpont esetén a rá ható erő adott pontra vonatkozó forgatónyomatéka: , ahol a forgatónyomatékot az animáción -val jelölt helyett a szokásosabb jelöli. A perdülettétel szerint a perdület megváltozását a forgatónyomaték okozza, és a perdület idő szerint deriváltja megegyezik a forgatónyomatékkal. Tehát: .
A perdület megmaradásának törvénye A fentiek alapján, ha a forgatónyomatékok eredője nulla, akkor a perdület állandó:
Ez a perdületmegmaradás törvénye.
Merev test forgásegyenlete Merev test tengely körüli forgásánál az impulzusnyomaték a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzata, ezért a perdület időbeli deriváltja a következő alakban is felírható:
, ahol a test forgásához tartozó szöggyorsulás.
A perdülettétel ebben az esetben a test forgását leíró egyenlet, az úgynevezett forgásegyenlet is egyben:
Ha a forgatónyomatékok eredője zérus, akkor a szöggyorsulás is zérus, azaz a merev test állandó szögsebességgel forog:
A perdületmegmaradás alkalmazásai bélyegkép|jobbra|250px| A két ellentétes irányban ható, egyforma nagyságú Fg és -Fg erőből álló erőpár forgatónyomatéka merőleges a pörgettyű forgástengelyére, azaz pörgettyű perdületére. Mivel a perdület idő szerinti deriváltja megegyezik a forgatónyomatékkal, a perdület és ezzel a forgástengely iránya változik a forgatónyomaték irányában. Ezt hívjuk precessziónak
Amikor egy forgásban levő korcsolyázó a lábait és a karjait behúzza a törzséhez, a mozdulat során csökken a tehetetlenségi nyomatéka. Mivel külső forgatónyomaték nem hat rá, a perdületmegmaradás miatt a szögsebessége nőni fog, azaz forgása felgyorsul.
Ugyanez a helyzet az igen nagy sebességgel forgó kompakt csillagok, például a fehér törpék, neutroncsillagok és fekete lyukak esetén is, amikor azok sokkal nagyobb, lassabban forgó csillagokból keletkeznek. Így egy csillag nagyságának 104-ed részére való lecsökkenése forgási sebességének 108-szorosával való növekedését eredményezi.
A perdület megmaradása miatt a Föld–Hold rendszer esetében a Hold által okozott dagály a Hold keringési sebességének növekedésével jár, mivel a Föld a Holdnak átadja perdületének egy részét. Ahogy a Hold felgyorsul, a Föld lelassul, mégpedig egy nap alatt 42 nanomásodperccel, ugyanakkor a Hold keringési távolsága is megnő, mégpedig évente kb. négy és fél centiméterrel.
Centrális erőtér és a perdületmegmaradás Amennyiben a testre ható erők eredője centrális, azaz a test mozgása közben mindig egy adott pont felé mutat, akkor az erre a pontra vonatkoztatott forgatónyomaték zérus. Így az erre a pontra vonatkozó impulzusmomentum megmarad.
Impulzusnyomaték a tömegközépponti rendszerben Több pontból álló rendszer esetén az impulzusnyomaték a tömegközéppont mozgásának ismeretében két részre bontható.Tasnádi P., Skrapits L., Bérces Gy.: Mechanika I., Dialóg Campus Kiadó, 2004 Magának a tömegközéppontnak a mozgásához tartozó pálya-impulzusmomentumra, és a rendszer tagjainak ehhez viszonyított mozgásához tartozó saját-impulzusmomentumra. Ez utóbbit nevezzük spinnek.
A relativisztikus mechanikában
A kvantummechanikában A kvantummechanikában a perdületet a lendülethez hasonlóan a hullámfüggvényen ható operátorként definiáljuk:
Elektromos töltés és spin nélküli részecskére helyreprezentációban
,
ahol r a részecske helye, a gradiens operátor.
A perdület-operátorok algebrájának jellemző tulajdonságai az alábbi kommutátorok:
L komponensei kommutálnak a spin és töltés nélküli részecske Hamilton-operátorával is, azaz megmaradó mennyiségek:
A perdület-operátor gyakran előfordul gömbszimmetrikus problémák megoldásakor. Gömbi koordináta-rendszerben, a helyreprezentációt használva az operátor alakja:
L2 és például Lz kommutál, ezért létezik közös sajátállapotrendszerük. Legyen egy ilyen állapotvektor |l,m>, ekkor a sajátértékegyenletek:
A sajátvektorok polárkoordináta-reprezentációban éppen a gömbfüggvények:
Mindez tulajdonképpen csak a perdület egy része, az ún. pályaperdület vagy pályamomentum. A relativisztikus kvantummechanikában megjelenik a spin, ami ilyen módon nem definiálható.
Jegyzetek
Források
További információk Magyarított Flash prezentáció: a mindig talpra eső macska és a perdületmegmaradás . Szerző: David M. Harrison Magyarított Flash animáció egy precesszáló pörgettyűről . Szerző: David M. Harrison
Kategória:Fizikai mennyiségek