A Cayley-tétel a csoportelmélet egy jelentős eredménye, mely azt mondja ki, hogy minden G csoport izomorf a Sym(G) szimmetrikus csoport valamely részcsoportjával. A G csoport Sym(G) szimmetrikus csoportja nem más, mint a G halmaz önmagára vett összes bijekciójának (tehát permutációjának) csoportja a függvénykompozícióval mint művelettel ellátva.
Az összes G → Sym(G) csoporthomomorfizmus meghatároz egy G-hatást a G-n, de a tétel szerint van egy kitüntetett T: G → Sym(G) homomorfizmus, mely izomorfizmus és amit a csoport reguláris- vagy Cayley-reprezentációjának nevezünk.
A Cayley-tétel következménye, hogy minden tétel, ami permutációcsoportokra igaz, az csoportokra is igaz, mivel minden csoport ábrázolható permutációcsoportként. Az elnevezés Arthur Cayley nevét őrzi.
Története Burnside szerint a bizonyítás Jordan érdeme, viszont Eric Nummela úgy érvel, hogy bizony a Cayley-tétel megnevezés a helytálló. Cayley abban az 1854. évi cikkében, ahol az algebrai csoport fogalmát is bevezette megmutatta a bijekció létezését, de nem bizonyította, hogy az homomorfizmus is. Nummela megjegyzi azonban, hogy Cayley ezt az eredményt közölte a kor matematikai közösségével, így megelőzte Jordant mintegy 16 évvel.
Bizonyítás (1) Tekintsük minden g ∈ G elemre az lg: G → G, lg(x) = gx (x ∈ G) úgy nevezett g-vel történő baleltolást. Rögzített g-re lg bijekció (sőt, automorfizmus) G-n. Egyfelől injektív, ugyanis ha minden x,y ∈ G-re lg(x) = lg(y) azaz gx = gy, akkor g-1gx = g-1gy, tehát x = y Másrészt minden G-belit felvesz képként, ugyanis ha h ∈ G, akkor lg(g-1h) = gg-1h= h.
(2) Belátjuk, hogy az összes baleltolásokat indexelő T: G → Sym(G), T'(g)=lg, (g ∈ G) leképezés injektív homomorfizmus (azaz monomorfizmus).
Egyrészt minden x,g,h ∈ G-re (lg o lh)(x) = lg(lh(x)) = lg(hx) = ghx= lgh(x)tehát T'(g) o T'(h) = T'(gh) azaz T művelettartó.
Másrészt minden g,h ∈ G-re, ha T'(g) = T'(h) azaz lg = lh, akkor az e ∈ G egységelemen is ugyanazt veszik föl, azaz ge = he azaz g = h.
(3) A T homomorfizmus képe részcsoport Sym(G)-ben, és T injektív, így a Im(T) izomorf G-vel és Im(G) a G csoportreprezentációja Sym(G)-ben.
Megjegyzések a reguláris reprezentációhoz A csoport egységeleme az identitás permutációnak felel meg. A csoport minden más eleme olyan permutációhoz tartozik, amely nem hagy egyetlen elemet sem helyben. Igaz ez olyan hatványokra is, amelyeknek a kitevője kisebb az alap rendjénél, ezért minden elemhez olyan permutáció tartozik, amely azonos hosszúságú körökből áll: ez a hossz az elem rendje. Egy-egy kör elemei az elem által generált részcsoport egy-egy bal kohalmazait alkotják.
Példák a reguláris reprezentációra Z2 = {0,1} a modulo 2 összeadással; a 0 elem rendelődik az identitás permutációhoz, az 1 elem pedig az (12) permutációhoz.
Z3 = {0,1,2} a modulo 3 összeadással; a 0 elem rendelődik az identitás permutációhoz, az 1 elem az (123) permutációhoz, a 2 elem pedig az (132) permutációhoz. Például 1 + 1 = 2 megfelel a (123)(123)=(132) kifejezésnek a permutációcsoportban.
Z4 = {0,1,2,3} a modulo 4 összeadással; az elemek rendre az id, (1234), (13)(24), (1432) permutációknak felelnek meg.
A Klein-féle négyes csoport {e, a, b, c} elemeihez rendre az id, (12)(34), (13)(24) és (14)(23) permutációk tartoznak.
Az S3 (hatodrendű diédercsoport) egy háromelemű halmaz összes permutációjának a csoportja, de izomorf a 6 elem egy permutációcsoportjával is.
* e a b c d f permutáció e e a b c d f e a a e d f b c (12)(35)(46) b b f e d c a (13)(26)(45) c c d f e a b (14)(25)(36) d d c a b f e (156)(243) f f b c a e d (165)(234)
Lásd még Joneda-lemma, Cayley tételének általánosítása a kategóriaelmélet segítségével
Jegyzetek
Fordítás
Kategória:Csoportelmélet Kategória:Permutációk Kategória:Matematikai tételek