A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). A gyökvonás azon esete, amikor .
Az szám négyzetgyökének jele:
A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen -nak és -nak ugyanúgy a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.
A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:
A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük. A racionális számok közül csak azoknak a négyzetgyöke lesz racionális, melyek felírhatók két négyzetszám hányadosaként. Így például a is irracionális, melyet már az ókorban bebizonyítottak.
A gyökjel a kis r betűből alakult ki, a jobb ág meghosszabbításával. A 16. században jelent meg. Eredetileg az r betűt a latin radix szó rövidítéseként a radikandus elé írták. Ha a radikandus bonyolultabb kifejezés volt, akkor zárójelbe tették. Így használta még Gauss is.
A négyzetgyök angol nevéből származik a sok programnyelvben használt sqrt jelölés.
Definíció a valós számok halmazán Ha a nem negatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:
A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.
A valós négyzetgyökfüggvény bélyegkép|300px|A négyzetgyökfüggvény grafikonja thumb|Kettős logaritmikus ábrázolásban a négyzetgyökfüggvény grafikonja egy 1/2 meredekségű egyenes
Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek szoktuk nevezni:
Ekvivalensen, jelölje q azt a függvényt, ami a valós számokhoz a négyzetüket rendeli. Ha ezt leszűkítjük a nemnegatív számokra, akkor inverze a négyzetgyökfüggvény lesz:
A valós számokon értelmezett négyzetre emelés függvény nem injektív és nem szürjektív, így nem invertálható függvény. A nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény viszont invertálható, inverze a négyzetgyökfüggvény. Mivel a nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény értékkészlete csak nemnegatív számokat tartalmaz, azért a négyzetgyök csak ezekre a számokra értelmezhető. A korlátozás miatt a négyzetgyökfüggvény értékei sem negatívak. A négyzetre emelés függvénynek más invertálható korlátozásai is vannak, ám ezek inverzét nem tekintjük négyzetgyökfüggvénynek.
A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja
.
Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges.
Értelmezési tartományának minden zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye
. Tulajdonságai Mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza:
Szigorúan monoton növekvő, azaz:
Zérushelye: x=0 Szélsőérték: Minimuma: x=0, f(x)=0 Maximuma nincs Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve. Példák + Négyzetszámok és négyzetgyökeik Radikandus Négyzetgyök Radikandus Négyzetgyök 1 1 121 11 4 2 144 12 9 3 169 13 16 4 196 14 25 5 225 15 36 6 256 16 49 7 289 17 64 8 324 18 81 9 361 19 100 10 400 20
Számolás négyzetgyökökkel A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:
, ha , ha , mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő. tetszőleges a valós számra. ellenben csak akkor teljesül, ha a nem negatív
A négyzetgyökvonással kapcsolatos problémák
I.) Irracionális egyenletek:
Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.
II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:
Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból. Komplex négyzetgyökfüggvény thumb|A komplex négyzetgyökvonás szögfelezést tartalmaz. Példa: A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív; azonban a valós esettel ellentétben szürjektív, azaz minden komplex szám előáll négyzetként. Leszűkítéssel injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.
A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a
tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető. Az egyetlen mellékág
A Descartes-koordinátákkal adott komplex szám esetén, ahol , valósak, a főérték
ahol a függvény értéke nempozitív esetén −1.
Polárkoordinátákkal a művelet egyszerűbben elvégezhető. Legyen a radikandus a komplex szám, melynek polárkoordinátás alakja
ahol és valósak úgy, hogy és ! Ekkor a főérték:
és a mellékérték ennek mínusz egyszerese:
A négyzetgyökök abszolútértéke a radikandus abszolútértékének négyzetgyöke. A főérték argumentuma a radikandus argumentumának fele. A mellékérték az origóra való tükrözéssel adódik. Ha komplex szám, akkor argumentuma az szög, ahol a pontok valós koordinátái az egy valós szám, a nulla valós szám és .
A komplex számokra nem teljesül az hatványtörvény, hogyha és . Ez megmutatható az esetben:
ahonnan az azonosság miatt
amire a negatív számok ellenpéldák. Ha például , akkor és miatt főértékének argumentuma , holott főértékének argumentuma .
Mivel pozitív radikandusok esetén a főértéknek pozitívnak kell lennie, így a példa azt is megmutatja, hogy nem létezhet olyan komplex gyökfüggvény, amelyre a hatványtörvény teljesül. Azonban a hatványtörvény teljesül, ha a két oldalon nem kell egyezniük az előjeleknek. A következő képeken és a négyzetgyök argumentumát színezés jelöli.
Számítása A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható. Valós számok Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető. Írásbeli gyökvonás: az írásbeli osztáshoz hasonló eljárás.
A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy. Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.
Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása:
12 < 2 és 22 > 2 miatt az első jegy 1. 1,42 = 1,96 < 2 és 1,52 = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik. Heron-eljárás vagy babilóniai módszer: a Newton-eljárás alkalmazása az x2 - a függvényre. Gyors konvergenciája miatt számológépek programozására használják. A négyzetgyökfüggvény 1 körüli Taylor-sorba fejthető a binomiális tétel szerint. A sor minden | x | < 1-re konvergens:
CORDIC-algoritmus a gépi számításokhoz Grafikus módszer: a Pitagorasz-tételen alapszik
Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.
Komplex számok jobbra|Egy z komplex szám négyzetgyökei
Ha a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke
ahol sgn(y) a szignumfüggvény.
Az egyetlen mellékág a .
A polárkoordinátákban adott négyzetgyökei így számíthatók:
ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg.
Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja.
Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög.
Példaként keressük a komplex szám négyzetgyökét. Ehhez kiszámítjuk az abszolútértékét:
Tehát a főérték
és a mellékérték
Négyzetgyökök a maradékosztály-gyűrűkben Ha egy n természetes számra akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:
Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:
Prímtényezős alakba írjuk az n számot Megoldjuk a kongruenciát a felbontásban szereplő minden prímhatványra Összevetjük ezeket a megoldásokat a kínai maradéktétel szerint. Prímszám modulus A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására.
Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk.
A kérdést az
Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:
.
Ha x kvadratikus nemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.
p négyes maradéka három
Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke
p'' négyes maradéka egy
Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható:
Választunk egy r számot, hogy:
legyen.
Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:
.
Ekkor az x'' kvadratikus maradék négyzetgyökei:
Példa: Legyen és !
Ekkor a fenti képlet alapján a négyzetgyökök
Próbálgatással egy megfelelő érték , mivel:
A és értékekre adódik, hogy:
Behelyettesítéssel
Tehát 3 négyzetgyökei modulo 37 15 és 22 modulo 37. Mátrixok négyzetgyökei Ha négyzetes mátrix, akkor négyzetgyöke minden mátrix, melyet önmagával szorozva az mátrixot kapjuk:
A gyökvonás a többi esethez hasonlóan nem egyértelmű. Azonban, ha pozitív definit szimmetrikus mátrixok pozitív definit szimmetrikus gyökét keressük, akkor a válasz egyértelmű.
A négyzetgyök kiszámítása: A radikandust ortogonális mátrixszal diagonizáljuk (spektráltétel miatt lehetséges). Az átlós elemekből négyzetgyököt vonunk, mindig a pozitív értéket választva. Lásd: Cholesky-felbontás Visszatérünk az eredeti bázisba. Az egyértelműség következik abból, hogy az exponenciális leképezés diffeomorfizmus a szimmetrikus mátrixok vektorterében a pozitív definit mátrixokra. Integráloperátor közelítésének négyzetgyöke Legyen integrálfüggvény, és legyen , ahol az pontokra és . Legyen továbbá függvény, és használjuk az közelítést! Példánkban a mátrix mérete :
Ez a művelet megismételhető, így kapjuk a kettős integrált:
így az mátrix felfogható numerikusan közelített integráloperátorként. Az mátrix nem diagonizálható, és Jordan-normálformája:
Ebből négyzetgyököt úgy lehet vonni, mint nem diagonizálható mátrixokból. De ebben a speciális esetben van közvetlenebb formális megoldás:
ahol , és .
Itt a diagonális indexe (a főátlóé nulla), és a kitevő . Hogyha behelyettesítjük a pozitív valós számot, így valós, és fdefiníciója alapján pozitív.
Így az „fél” határozott integrálja numerikusan közelíthető:
Hogyha keressük az összes olyan operátort, ami önmagával szorozva az közelítő integráloperátort adja, akkor be kell tenni a negatív előjelet, így a két megoldás .
A levezetéshez invertálni kell -t, azt eredményt a hatványra emelni, és újra invertálni. Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Elemi algebra Kategória:Valós analízis Kategória:Számelmélet Kategória:Függvények