A mellékosztály a matematika egyik ágának, a csoportelméletnek a fogalma. Ha adott egy csoport, ennek egy eleme valamint egy részcsoportja, akkor a részcsoport adott elem szerinti mellékosztálya azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek a részcsoport elemeinek az adott elemmel való szorzatábólA szorzat szó itt egyszerűen a csoportban értelmezett műveletet jelenti, ami bármi lehet, ha teljesíti a csoportaxiómákat, például összeadás is. adódnak.
A közös részcsoporthoz de más-más elemhez tartozó mellékosztályok vagy egyenlők (azaz minden elemük közös) vagy diszjunktak (azaz nincs közös elemük). Számosságuk egyenlő a részcsoport rendjével (azaz a részcsoportba tartozó elemek halmazának számosságával). Ezekből következik, hogy a csoport elemei egy adott részcsoportra nézve mind pontosan egy-egy mellékosztályba tartoznak. Innen ered az osztály elnevezés.
Definíció Legyen ,A jobb átláthatóság kedvéért egyszerűen jelöli magát a csoportot és a halmazt is. Halmazelméleti jelölések használatakor (például , ) a betű a csoport elemeinek halmazára vonatkozik, csoportelméleti jelöléseknél pedig magát a csoportot jelöli. pedig részcsoportja, valamint egy -beli elem:
Ekkor a részcsoportnak a szerinti jobb oldali mellékosztálya a következő halmaz:
bal oldali mellékosztálya pedig:
Ha a művelet kommutatív, akkor a két fogalom megegyezik, és elég egyszerűen mellékosztályról beszélni.
Tulajdonságok Diszjunktság Egy adott részcsoport ugyanolyan oldali, de különböző elem szerinti mellékosztályai vagy diszjunktak, vagy egyenlők:
Másképp megfogalmazva: ha van közös elemük, akkor minden elemük közös:
Bizonyítása az utóbbi megfogalmazást követve (a bizonyítás szimmetrikusan az ellenkező oldali mellékosztályokra is működik):
Ha a két mellékosztálynak nincs közös eleme, akkor a két halmaz diszjunkt, tehát az állítás igaz. Ha van közös elemük, akkor az egyik ilyen közös elemet jelölje x. A mellékosztály definíciója szerint x tehát a következőképp írható: , mert x benne van az f szerinti mellékosztályban , mert x benne van a g szerinti mellékosztályban Ebből következik, hogy , mindkét oldalt balról összeműveletezzük a inverzével.
Legyen y egy tetszőleges -beli elem. Ekkor a definíció szerint y a következőképp írható:
ami az (1) egyenlet alapján:
mivel a struktúra csoport, a művelet asszociatív:
Legyen
d biztosan eleme -nak, hiszen elemei -nak, a struktúra pedig csoport, tehát létezik inverz a halmazon belül, valamint a művelet zárt a halmazra. Így a (2) egyenlet:
Ez a mellékosztály definíciója szerint azt jelenti, hogy
Ezzel be lett bizonyítva, hogy ha van közös elem, akkor bármely elem, ami benne van az f szerinti mellékosztályban, az a g szerintiben is benne van. A szimmetria miatt fordítva is igaz: bármely elem, ami benne van a g szerinti mellékosztályban, az az f szerintiben is benne van. Ez azt jelenti, hogy ha a két halmaz nem diszjunkt, akkor egymásnak kölcsönösen részhalmazai, tehát egyenlők. Ezt kellett bizonyítani.
Azonos számosság Közös részcsoporthoz tartozó mellékosztályok számossága megegyezik a részcsoport rendjével:
Bizonyítása:
Legyen tetszőleges és egyértelmű hozzárendelés (függvény). Legyen . Tegyük fel, hogy
Vagyis , mivel csoportról van szó, létezik inverz.
Tehát a függvényértékek csak akkor egyenlők, ha a változók is, valamint a képhalmaz egyben értékkészlet is a mellékosztály definíciója alapján. Ebből következik, hogy φ kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, azaz bijekció. Mivel és között létesíthető kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (a φ), a két halmaz számossága a számosság definíciója szerint egyenlő:
A bizonyítás ugyanígy működik az ellenkező oldali mellékosztályokra is, tehát az állítás bizonyítása kész.
Lagrange tétele A mellékosztályok fenti tulajdonságainak felhasználásával Lagrange tétele egyszerűen bizonyítható:
Tétel: Véges csoport minden részcsoportjának rendje osztja a csoport rendjét, azaz:
Bizonyítás: különböző mellékosztályai diszjunktak és azonos számú, darab elemet tartalmaznak. Minden -beli elem benne van az egyik mellékosztályban: például a -ben, hiszen , ahol a csoport egységeleme (ami megegyezik egységelemével). A teljes halmaz elemszáma egyenlő a különböző (tehát diszjunkt) mellékosztályok elemszámának összegével, hiszen átfedés nincs köztük de kitöltik a teljes halmazt. Ezeknek a mellékosztályoknak a számát jelöli (ennek neve a részcsoport indexe a csoportra), így:
Vagyis
További információk Alice és Bob - 24. rész: Alice és Bob komolyabb fegyverekhez nyúl
Jegyzetek
Kategória:Csoportelmélet
de:Gruppentheorie#Nebenklassen ru:Глоссарий теории групп#К