thumb|Matematikaszobor Marosvásárhelyen A matematikafilozófia a filozófia azon ága, mely a matematikával foglalkozik (szemben a tudománnyal mint olyannal általában foglalkozó tudományfilozófiával, melynek nem tárgya külön a matematika természete, és ami nem jelenti külön egy-egy tudományág vizsgálatát), a matematikafilozófia az ún. genitivus-filozófiák közé tartozik, és a matematika filozófiai vonatkozásaival foglalkozik.
A matematikafilozófia főbb területei
Metafizikai természetű kérdések Mik a számok? Mi a pont, az egyenes, a sík? Mi a halmaz? Mi a jelentése a matematikai tételeknek, fogalmaknak? Ontológiai vonatkozások Mindig is léteztek matematikai természetű objektumok (azaz felfedezhetők), vagy fel kell őket találni? Biztosan létezik egy matematikai objektum, amit meg tudunk nevezni, vagy meg is kell azt alkotnunk (konstruálnunk)? Létezik-e végtelen? Episztemológiai problémák Mi a matematikai igazságok felismerésének módja? Milyen módon juthatunk el az igazsághoz? Dedukcióval vagy heurisztikus módon jutunk-e el a tételekhez? Eljuthatunk-e a teljes igazsághoz? Vannak-e korlátai az emberi elmének? Mitől működik a matematika (azaz miért alkalmazható olyan jól a fizikában és a műszaki tudományokban)? Metodológiai kérdések Mik a matematikai érvelések elfogadott formái? Hogyan szervezzük rendszerbe a matematika tudományát? Mi a matematika tudománya? Milyen a matematika „hétköznapi arca”, ahogy a matematikusok látják? Milyen a „születőfélben lévő” matematika? Milyen hatással van a matematikai elméletek tartalmára az a mód, ahogyan számolunk, ahogyan szerkesztünk, ahogy felépítjük a matematika világát? Milyen hatással van ugyanerre az, ahogyan az elméletek, bizonyítások, új matematikai fogalmak létrejönnek? Összegezve milyen hatással van a matematikai elméletek tartalmára a matematikai gyakorlat?
Metamatematika – A matematika megalapozásának problémái Mire épül a matematika? A logikára? Ha az nem elég, akkor milyen elmélettel kell kiegészítenünk a logikát, hogy minden matematikai területet elérhessünk egy egységes elmélet keretei között? Ha a matematika területei formális, axiomatikus, deduktív rendszerek, akkor bebizonyítható-e az ellentmondásmentességük? Meddig terjed a kifejezőképességük? Miért pont azok az axiómák, amik? Adekvát módon írják-e le a formális rendszerek az elméletek szándékolt jelentését?
Tudományfilozófiai kérdések Hogyan fejlődik a matematika? Adódhatnak-e a matematika történetében forradalmak, és ha igen, voltak-e paradigmaváltások? Valóban örök érvényűek a matematikai igazságok? Ha igen, akkor miért fogalmazzák újra a matematikai tételeket a különböző korok az aktuális szigorúsági standardoknak, a megismert új elméleteknek és fogalmaknak megfelelően? Mi változik és mi marad állandó ezekben a folyamatokban? Befolyásol(hat)ják-e az elme- és nyelvfilozófiai, a kognitív pszichológiai, pedagógiai és didaktikai eredmények a matematikáról alkotott képünket?
Tudománytörténeti előzmények
Ebben a szakaszban a matematika és a logika történetének olyan mozzanatait soroljuk fel, amelyek hozzájárultak a mai matematikafilozófia képének kialakulásához.
A Kr. e. V. – IV. században a görög matematika fénykorában a matematika önálló tudománnyá vált, kialakult az axiomatikus-deduktív tárgyalásmód, mely azóta is jellemző a matematika módszertanára. A Kr. e. II. -Kr. u. IV. századokban előtérbe kerül a tételek felfedezésének és bizonyításának módszertana. Arkhimédész majd Papposz olyan műveket ír, mely rámutat arra, hogyan fogalmazhatjuk meg és bizonyíthatjuk be sejtéseinket. Ezt matematikai heurisztikának nevezzük. XVII. – XVIII. sz. – Descartes, Leibniz és Kant filozófiájukban nagy szerepet szánnak a matematikának. Mindegyiküknél a tudományok egyfajta mintapéldája a matematika, bár mindegyiküknél másképpen. Descartes a körültekintő tárgyalásmódot, Leibniz a nyelvi pontosságot, Kant pedig az abszolút igazságát méltatja. A XIX. század közepe a modern matematikafilozófia hajnala. Cauchy és Weierstrass munkássága révén megindul egy új program, melynek célja a matematika megtisztítása a zavart okozó rejtett előfeltevésektől és homályos definícióktól. Ez a „szigorúság forradalma”. 1880-1900 – A végső elmélet keresése. Cantor megalkotja a halmazelméletet, Frege pedig a modern formális logikát és a formális axiomatikus aritmetikát (ez utóbbit vele egyidőben Peano is megteszi). Uralkodóvá válik a megalapozási paradigma, mely egy olyan elmélet keresését jelenti, melyen belül a matematika összes ága egyben tárgyalható. A XX. század eleje. Köztudomásúvá válik Cantor halmazelméletének és Frege aritmetikájának ellentmondásossága. A megalapozási elv első válsága. Az ellentmondások kiküszöbölését Russell vállalja magára és megalkotja a típuselméletet. Az intuicionisták Brouwer vezetésével a klasszikus logika túl engedékeny szabályait és formális nyelvi voltát okolja az ellentmondások fellépéséért. Hilbert köztes megoldásként megfogalmazza a finitizmus ideológiáját, mely szerint a matematika formális nyelvi elméletek összessége, melyek ellentmondásmentességét egy kitüntetett elmélet, a véges (finit) matematika alapján lehet igazolni. Az elméletek abszolút ellentmondásmentességét ezután az aritmetika tényeinek nagy fokú kétségbevonhatatlansága biztosítaná. A harmincas évek. A XX. század harmincas éveiben sorra születnek azok a negatív eredmények, amelyek kétségessé teszik a hilberti finitizmus és a russelli formalizmus tarthatóságát. Gödel első és második nemteljességi tétele súlyos csapást mér mindkét vezető ideológiára. A megalapozási elv második válsága.
Matematikafilozófia a Gödel-tételek után
A modern matematikafilozófia egyik legnagyobb eredménye Gödel első és második nemteljességi tétele (1931). Gödel tételei csapást mértek – bár nem egyértelmű, hogy mekkorát – mindenféle megalapozási elvre.
Az első tétel következményei
Gödel első nemteljességi tétele azt mondja ki, hogy: Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható.
Hilbert az aritmetika ellentmondásmentességének bizonyítását feladatul tűzte ki a matematikustársadalom számára. Hasonlóképpen elvárásai közé tartozott, hogy az aritmetikában minden állítás igazságát el tudjuk dönteni levezetéssel. E tétel szerint ez egyszerre nem teljesülhet. Sőt, minden nemtriviális axiomatikus elmélet esetén fennáll a bizonyosságnak eme hiánya. Durván fogalmazva: feltéve, hogy egy matematikai elmélet ellentmondásmentes, mindig megfogalmazható lesz benne olyan kérdés, melyre nem létezik válasz. Amennyiben a tételnek ezt az interpretálását elfogadjuk, az a matematika egy elég zavarba ejtő jellegére mutat rá.
A második tétel következményei Gödel második nemteljeségi tétele azt mondja ki, hogy: Ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben az 'ez az elmélet ellentmondásmentes' mondatnak megfelelő formális kijelentés nem bizonyítható.
A második tétel sokkal súlyosabb következményekkel jár. Tegyük fel, hogy a T formális-axiomatikus elmélet ellentmondásmentességét szándékozunk bizonyítani. Ezt a bizonyítást a szintén formális-axiomatikus T ' (meta)elméletben tesszük meg. Legyen ennek a Cons(T): 'T ellentmondásmentes' mondat bizonyításának formalizált változata a T ' -beli p lépéssorozat. Ha a p bizonyítás elvégzéséhez szükséges elméleti háttér azonos erősségű a T elmélettel, azaz p lefordítható T nyelvére, akkor T-ben megfogalmazható és bizonyítható lesz Cons(T) fordítása. Márpedig Gödel második nemteljességi tétele azt állítja, hogy nem létezik, Cons(T)-nek bizonyítása, így p fordítása sem lehet az, ami ellentmondás. De az aritmetikát minden megalapozási célra szánt matematikai elméletnek tartalmaznia kell, így ellentmondásmentességének bizonyítását eszerint nem lehet semmilyen azonos erősségű metaelmélet alapján bebizonyítani. Speciálisan: az aritmetika ellentmondásmentességét nem lehet aritmetikai eszközökkel bizonyítani – ahogy azt Hilbert szándékozott volna. (Megjegyezzük, hogy az aritmetika ellentmondásmentességére transzfinit bizonyítást azonban már talált Gerhard Gentzen 1936-ban.)
A Gödel-tételek eredményeként a matematika alapjai kérdésköre kikerült a matematikafilozófia centrális problémái közül. A tételek zavarbaejtő volta miatt nehéz bármit állítani arról, hogy milyen ellentmondásmentes formális elmélet felel meg a teljes matematikának. A Hilbert által életre hívott metamatematika, mely a formális matematikai elméletek elmélete lenne matematikai eredményeit illetően beleolvadt a logikába, illetve filozófiai funkciójától teljesen megfosztva célját vesztette. Úgy tűnik, hogy a matematikusok lemondtak arról a romantikus álmukról, hogy saját tudományuk filozófiáját minden „bölcsészeti pontatlanságtól mentesen” saját maguk, matematikai módszerekkel alkossák meg. A matematikafilozófiának azonban a russelli hagyományt követő analitikus filozófiában kitüntetett szerepe van, minthogy szigorú tudományos nyelvezete miatt nyelvfilozófiai eszközökkel hatékonyan vizsgálható.Az alábbiakban kitérünk a matematikafilozófia „Gödel utáni” főbb irányvonalaira. Ezek történeti előzményei javarészt megtalálhatók a matematikafilozófia története szócikkben. Matematikai realizmus vagy platonizmus
Matematikai realizmus vagy platonizmus
Ez a matematikaszemlélet a kiemelkedő ókori filozófus Platónról nyerte a nevét. A platóni ideatan az anyagtalan, örök és változatlan lényegek, az ideák birodalmáról szól. Az ideák a valóság ősképei, valójában csak ők léteznek, a látható világ nem valóságos, csak érzéki csalódás. Platón a „vonalhasonlatban” mutatja be az ideák világának viszonyát a földi világ dolgaihoz. Eszerint a világ kétszer két területre tagolódik. A látható dolgok világa: közvetetten észlelhető és közvetlenül észlelhető. A szellem számára hozzáférhető világ: a tudomány területei, például a matematika, és az ideák birodalma.
Platón a nevezetes barlanghasonlatban írja le az ideákhoz való fölemelkedést. Minden, amit szemünkkel látunk, amit érzékeinkkel tapasztalunk csak a tökéletlen árnykép, árnyékvilág. Ahogy a barlangban levő fényforrás a mesterséges tárgyak árnyékát a falra vetíti, valóságosnak tartják a bent élő emberek, ugyanúgy látjuk mi a világ dolgait. Világunk csak tökéletlen mása a valódi létezők, az ideák világának. Még inkább így van ez a matematikai objektumokkal. A homokba rajzolt háromszög csak földi mása „a háromszögnek”.
A matematikára jellemző egyfajta sajátos, nagy fokú objektivitás. Akárki is tesz két kavics mellé még kettőt, akkor négy kavicsot fog kapni. Bármelyik matematikus is végezzen el egy számítást, ugyanazon feltételek esetén, ugyanazon szabályok betartásával ugyanazt az eredményt fogja kapni. Ha mégsem, akkor egy idő után kiderül, hogy hibázott, vagy mégsem teljesen ugyanazokat a szabályokat alkalmazta.
Ez a nagy fokú objektivitás és a természettudományokban és a mindennapi életben történő egyedülálló hatékonyság a matematikusok nagy része számára egyértelmű jele annak, hogy a matematikai objektumok tőlünk független létező dolgok; bár nem fizikai tárgyakként, de objektív létezőként világunk részei. Ezt az ontológiai állásfoglalást nevezhetjük matematikai realizmusnak (más tudományok esetén, például a fizika, vagy az etika esetén szintén beszélhetünk realizmusról) illetve (kifejezetten a matematikára vonatkoztatva) platonizmusnak.