Az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége megadja az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét, feltéve hogy a B esemény már bekövetkezett vagy bekövetkezik. Jelölése P(A | B), szóban: A feltéve B.
Két esemény Ha A és B események, és B valószínűsége pozitív, akkor
ahol annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik. Így is írják: illetve .
A feltételes valószínűség kiszámítására szolgáló képletet átalakítva:
Ha A és B független, akkor
Ha csak P(B), P(A|B) és P(B|A) ismert, akkor A valószínűsége:
ahol a B esemény komplementerét jelöli.
A Bayes-tétellel kiszámítható az egyik feltételes valószínűség a másik feltételes valószínűség és a nem feltételes valószínűségek segítségével:
Véges sok esemény Nemcsak két eseményt tekinthetünk, hanem többet is. Jelölje őket rendre !
A két eseményre vonatkozó képletet általánosítva:
A számítás döntési fával modellezhető. Teljes valószínűség tétele Az esemény valószínűsége kiszámítható, ha ismert az és feltételes valószínűség, ahol a esemény be nem következése. Ekkor
Általában, legyen teljes eseményrendszer, és minden -re. A teljes eseményrendszer a teljes eseménytér partíciója. Ekkor
Folytonos valószínűségi változók Az közös sűrűségfüggvényű X és Y folytonos valószínűségi változók feltételes valószínűsége
.
Ha , akkor értelmezhető X feltételes sűrűségfüggvénye egy adott -ra:
.
X sűrűségfüggvénye is meghatározható:
.
A teljes valószínűség tételével az marginális sűrűségfüggvény Y-tól függetlenül is meghatározható, ha y szerint integráljuk az függvényt.
Ügyelni kell arra, hogy a sűrűségfüggvény nem egyértelmű. , , és sűrűségfüggvényének megfelel minden olyan mérhető függvény, ami , és -re a megfelelő valószínűségeket adja. Az függvénynek az
összefüggésnek kell eleget tennie.
Függetlenség Két esemény együttes bekövetkeztét az események szorzatának, szorzateseménynek nevezzük. Két esemény, A és B akkor és csak akkor független, ha szorzateseményük valószínűsége megegyezik valószínűségük szorzatával:
Ekkor, ha A és B is pozitív valószínűségű, akkor az egyik feltéve a másik feltételes valószínűségek megegyeznek a feltétel nélküliekkel:
és
Kizáró események Két esemény kizárja egymást, ha nem következhetnek be egyszerre, Például ilyen egy esemény és komplementere, vagy hogy a kockával hatost, vagy egyest dobunk-e. Két esemény akkor és csak akkor lehet kizáró is és független is, ha egyik az üres, másik ennek komplementere, a teljes esemény.
Mivel üres esemény valószínűsége nulla, ezért . Így, ha B valószínűsége pozitív, akkor .
Források Denkinger Géza: Valószínűségszámítás Hans-Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya
Kategória:Valószínűségszámítás