A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is. Sokszögek
Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.
Egy n oldalú sokszögnek mindegyik csúcsából indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:
(n − 3) × n,
viszont mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így az átlók száma:
Hossza A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:
ahol s0 és s1 a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.
A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.
A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
Speciális esetek Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek. Egy a és b oldalú paralelogramma átlóinak hossza
és .
Az a és b oldalú téglalap átlójának hossza a Pitagorasz-tétellel számítható: .
Az a oldalú négyzet átlója: .
Az a oldalú szabályos ötszög átlója: .
Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza . A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza .
Poliéderek thumb|right|Kocka egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC'). A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját. Egy poliéder lapátlója a poliéder egy lapjának átlója. Egy poliéder testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza. A testátlók száma A testátlók száma ezzel a képlettel számítható: , .ahol C a csúcsok száma, E az éleké, L a lapoké, és az i-edik lap éleinek száma Ni
Például a paralelepipedonokra:
A poliéder átlóinak hossza Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható. Egy a, b és c élű téglatest testátlójának hossza . Speciális esetként adódik a kocka testátlója: . Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.
Mátrixok A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.
Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:
Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:
Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.
A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.
A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.
Kapcsolódó szócikkek Diagonális mátrix Tridiagonális mátrix
Források Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.
Kategória:Abszolút geometria Kategória:Lineáris algebra