bélyegkép|jobbra|Venn-diagram egy reflexív ρ relációról, piros vonal jelöli az egyenlőségi relációt
Reflexív relációnak nevezünk egy homogén kétváltozós relációt, ha a reláció alaphalmazának minden eleme relációban áll önmagával.
__TOC__
Definíció
Legyen A tetszőleges halmaz. Az A halmazon értelmezett ρ reláció reflexív, ha bármely a∈A esetén érvényes aρa.
Másképpen: EA⊆ρ, ahol EA az A halmazon értelmezett egy(enlő)ségreláció.
Formulákkal: jelölésmód formula infix ∀a∈A (aρa) prefix ∀a∈A: ρ(a,a) halmazalgebrai EA⊆A
Ekvivalens tulajdonságok
Könnyen igazolható, hogy ugyanezt a fogalmat adják meg a következő tulajdonságok: ρ reflexív akkor és csak akkor, ha ∀a∈A: aρa; ∀a∈A: a∈ρ[a]; ∀a∈A: a∈ρ−1[a]; ∀a∈A: a∈R(ρ); ahol R(ρ) a ρ reláció értékkészlete; ∀a∈A: a∈ρo(a); ahol ρo(a) a reláció ún. „önbelseje”;ρo(a) := { b∈A | ρ[b]⊂ρ[a] } EA⊆A
Példák Egyszerű példák és ellenpéldák
Ilyen például
bármely halmazon az egyenlőségi reláció az egyenesek párhuzamossága (mert minden egyenes párhuzamos önmagával), a 0 elhagyása után az egész számok között az oszthatóság (mert minden nem 0 egész szám osztható önmagával), a halmazok között a tartalmazási reláció (mert minden halmaz részhalmaza önmagának).
Nem ilyen
az egyenesek merőlegessége (mert egyetlen egyenes se merőleges önmagára), a halmazok között a valódi részhalmaz reláció (mert egyetlen halmaz se valódi részhalmaza önmagának).
További példák halmazokon (tetszőleges halmaz hatványhalmazán a tartalmazási reláció és az ekvivalencia) valós számokon a kisebb-egyenlő, a nagyobb-egyenlő természetes számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás pozitív egész számokon az oszthatóság egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság a tér síkjain a párhuzamosság logikai formulák halmazán az logikai ekvivalencia
Hivatkozások
Kapcsolódó szócikkek reláció irreflexív reláció
Jegyzetek
További információk Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik
Kategória:Relációkalkulus