thumb|300px|Brown-mozgás Itó-integrálja önmaga szerint
Az Itó Kijosi nevét őrző Itó-kalkulus a valószínűségszámítás és az analízis határterülete, amely a klasszikus analízisbeli függvénykalkulus (differenciál- és integrálszámítás) módszereit kiterjeszti a sztochasztikus folyamatokra, pl. Brown-mozgás (lásd Wiener-folyamat). Fontos alkalmazási területei a pénzügyi matematika és a sztochasztikus differenciálegyenletek.
Központi elgondolása az Itó sztochasztikus integrál
ahol H az integrandus, X pedig egy Brown-mozgás, vagy általánosabban, egy szemimartingál. A Brown-mozgás pályái nem elégítik ki azon feltételeket, melyek a kalkulus hagyományos eszközeinek használatához szükségesek. Például egyik pontban sem differenciálhatóak és végtelen variációjúak minden időintervallumon. Ennek eredményeként az integrál nem definiálható a hagyományos módon (lásd Riemann–Stieltjes integrál). A fő meglátás, hogy az integrál definiálható mindaddig, míg H adaptált, ami azt jelenti, hogy a t időpillanatban felvett értéke csak az addig rendelkezésre álló információktól függ.
Az áruk ára és egyéb kereskedéshez kapcsolódó nyereségek modellezhetők sztochasztikus folyamatokkal, pl. Brown-mozgással vagy (gyakrabban) geometriai Brown-mozgással (lásd Black–Scholes-modell). Ekkor az Itó sztochasztikus integrál egy folytonos idejű kereskedési stratégia eredményét reprezentálja. A stratégia szerint Ht mennyiséget tartunk az áruból a t időpontban. Ebben a helyzetben, a feltétel hogy H adaptált annyit jelent, hogy a kereskedési stratégia csak meglévő információkat használhat. Ez megelőzi a végtelen nyereség lehetőségét nagy ingadozású kereskedéssel: megvesszük az árut éppen a hegyek előtt, és eladjuk pontosan a völgyek előtt. Hasonlóan, H adaptáltságából következik, hogy a sztochasztikus integrál nem divergál ha Riemann-összegek határértékeként számítjuk ki.
Az Itó-kalkulus fontos eredményei közé tartozik a parciális integrálás formulája és az Itó-lemma, amely a változócsere formulája. Ezek eltérnek a hagyományos kalkulus formuláitól, a kvadratikus variációt tartalmazó tagok miatt.
Jelölés
Egy H folyamat integrálját egy másik X folyamat szerint a t időpillanatig
jelöli. Ez maga egy sztochasztikus folyamat a t paraméterrel, amit H · X-el is szokás jelölni. Másképp, az integrált gyakran differenciál alakban írhatjuk: dY=H dX. Ez ekvivalens az Y − Y0 = H · X felírással. Mivel az Itó-kalkulusban folytonos idejű sztochasztikus folyamatokat feltételezünk, feltehető, hogy van egy mögöttes filtrált valószínűségi mező
Az Ft szigma-algebra a t időpillanatig rendelkezésre álló információt reprezentálja és az X folyamat adaptált, ha Xt egy Ft-mérhető valószínűségi változó. A B Brown-mozgásról tudott, hogy Ft-Brown-mozgás, ami egy standard Brown mozgás azzal a tulajdonsággal kiegészülve, hogy Bt+s − Bt független Ft-tól minden s,t ≥ 0 esetén.
Integrálás Brown-mozgás szerint
Az Itó-integrált definiálhatjuk a Riemann–Stieltjes integrálhoz hasonló módon, azaz mint Riemann-összegek mértékben való határértékét. Egy ilyen határérték nem feltétlenül létezik pályánként. Tegyük fel, hogy B egy Wiener-folyamat (Brown-mozgás) és H egy balról folytonos, adaptált és lokálisan korlátos folyamat. Ha πn a [0, t] intervallum partícióinak egy minden határon túl finomodó sorozata, akkor a H Itó-integrálja a B Brown-mozgás szerint a t időpontig egy valószínűségi változó
Megmutatható, hogy ez a limesz mértékben konvergál.
Bizonyos alkalmazásoknál, mint például a martingál reprezentációs tételek és lokális idők, az integrálra nem folytonos folyamatok esetében van szükség. A megjósolható folyamatok a legkisebb olyan osztályt alkotják, mely zárt a sorozatok határértékére nézve és tartalmaz minden adaptált, balról folytonos folyamatot. Ha H egy megjósolható folyamat úgy, hogy ∫0t H² ds < ∞ minden t ≥ 0 esetén, akkor a H folyamat B szerinti integrálja definiálható és H-t B-integrálható folyamatnak nevezzük. Minden ilyen folyamat közelíthető balról folytonos, adaptált, lokálisan korlátos folyamatok Hn sorozatával
a valószínűségi értelemben. Ekkor az Itó-integrál
alakú, ahol ismét, a határértékről megmutatható a valószínűségben konvergencia. A sztochasztikus integrál kielégíti az Itó-izometriát
amely igaz, ha H korlátos, vagy általánosabban ha az integrál a jobb oldalon véges.
Itó-folyamatok
Egy Itó-folyamatot olyan adaptált sztochasztikus folyamatként definiáljuk, amely kifejezhető, mint egy Brown-mozgás szerinti integrál és egy idő szerinti integrál összege,
Itt, B egy Brown-mozgás és megköveteljük, hogy σ egy megjósolható B-integrálható folyamat, és μ megjósolható és (Lebesgue) integrálható legyen. Azaz
minden t esetén teljesüljön. A sztochasztikus integrál kiterjeszthető ilyen Itó-folyamatokra,
Ez definiálható minden lokálisan korlátos és megjósolható integrandusra. Általánosabban, megköveteljük, hogy H σ egy B-integrálható és H μ egy Lebesgue integrálható legyen úgy, hogy ∫0t(H²σ² + |H μ|) ds véges. Az ilyen megjósolható H folyamatokat X-integrálhatónak nevezzük.
Egy fontos eredménye az Itó-folyamatok kutatásának az Itó-lemma. Egyszerűbb alakjában, minden kétszer folytonosan differenciálható ƒ valós függvény és X Itó-folyamat esetén, mint azt fent láttuk, azt állítja, hogy ƒ(X) maga is egy Itó-folyamat, mely kielégíti a
Ez a sztochasztikus analízisbeli megfelelője a változócsere formulának és a láncszabálynak. Különbözik a hagyományos eredménytől, mivel egy további, az f második deriváltját tartalmazó tag is megjelenik, amely a Brown mozgás nem-nulla kvadratikus variációjának következménye.
Szemimartingálok és integrátorok
Az Itó-integrált definiálhatjuk egy X szemimartingál szerint. Ezek olyan folyamatok, amelyek felbonthatóak X = M + A alakban, ahol M lokális martingál és A egy véges variációjú folyamat. Fontos példái ilyen folyamatoknak többek közt a Brown-mozgás, ami egy martingál és a Lévy-folyamatok. Balról folytonos, lokálisan korlátos és adaptált H folyamat esetén az integrál H · X létezik és kiszámítható mint Riemann-összegek határértéke. Legyen πn egy minden határon túl finomodó partíció sorozata a [0, t] intervallumnak,
Ez a határérték valószínűségben létezik. A balról folytonos folyamatok sztochasztikus integrálja általában elegendő a sztochasztikus analízis nagy részének tanulmányozásához. Például elegendő az Itô-lemma alkalmazásához, a mérték megváltoztatásához Girsanov tétele, és a sztochasztikus differenciálegyenletek tanulmányozásához. Habár nem elegendő más fontos témákhoz, mint például a martingál reprezentációs tétel és a lokális idők vizsgálatához.
Az integrál kiterjeszthető minden megjósolható, lokálisan korlátos integrandusra, egyértelmű módon, úgy hogy a dominált konvergencia tétel érvényben marad. Azaz ha Hn → ;H és |Hn| ≤ J ahol J lokálisan korlátos folyamat, akkor ∫0t Hn dX → ∫0t H dX valószínűségben. A kiterjesztés egyértelműsége balról folytonos folyamatokról megjósolható folyamatokra a monoton osztály tétel eredménye.
Általában a H · X sztochasztikus integrál definiálható még olyan esetekben is, amikor a H megjósolható folyamat nem lokálisan korlátos. Ha K = 1 / (1 + |H|), akkor K és KH korlátosak. A sztochasztikus integrálás asszociativitásából következik, hogy H egy X-integrálható, és integrálja H · X = Y akkor és csakis akkor, ha Y0 = 0 és K · Y = (KH) · X. Az X-integrálható folyamatok halmazát L(X) jelölje.
Tulajdonságok
A sztochasztikus integrál egy càdlàg folyamat. Továbbá egy szemimartingál.
A sztochasztikus integrál szakadásait az integrátor szakadásai adják, megszorozva az integrandussal. Egy càdlàg folyamat ugrása a t időpillanatban Xt − Xt− és gyakran ΔXt jelöli. Ezzel a jelöléssel Δ(H · X) = H ΔX. A konkrét következménye ennek az, hogy a folytonos folyamatok szerinti integrálok mindig maguk is folytonosak. Asszociativitás. Legyen J, K megjósolható folyamatok és K legyen X-integrálható. Ekkor J egy K · X integrálható folyamat pontosan akkor, ha JK egy X-integrálható folyamat, amikor is
Dominált konvergencia. Tegyük fel, hogy Hn → H és |Hn| ≤ J, ahol J egy X-integrálható folyamat. Ekkor Hn · X → H · X. A konvergencia mértékben teljesül minden t időpontban. Lényegében, kompakt halmazokon egyenletes a mértékben való konvergencia. A sztochasztikus integrál kommutál a kvadratikus kovariancia operátorával. Ha X és Y szemimartingálok és minden X-integrálható folyamat szintén [X, Y]-integrálható és [H · X, Y] = H · [X, Y]. Egy következménye ennek, egy sztochasztikus integrál kvadratikus variáció folyamata megegyezik a kvadratikus variáció folyamat integráljával.
Parciális integrálás
Mint a hagyományos kalkulusban, a parciális integrálás egy fontos eredménye a sztochasztikus kalkulusnak. A parciális integrálás formulája az Itô integrál esetén eltér a hagyományos eredménytől a kvadratikus kovariációt tartalmazó tag jelenléte miatt. Ez a tag abból a tényből jön, hogy az Itô-kalkulus nem-nulla kvadratikus varianciájú folyamatokkal bánik, ami miatt ezek a folyamatok végtelen variációjúak (mint pl. a Brown-mozgás). Ha X és Y szemimartingálok, akkor
ahol [X, Y] a kvadratikus kovariáció folyamat.
Az eredmény általánosítása a Riemann–Stieltjes integrál esetében meglévő parciális integrálás tételhez, ha Riemann-Stieltjes integrálható szerint és fordítva, akkor és korlátos változásúak, ekkor , így visszaadja a Riemann-Stieltjes integrálok esetén felírható parciális integrálás szabályát.
Itó-lemma
Itó lemmája a láncszabály vagy változócsere megfelelő, Itó integrálokra vonatkozó formulája. Az egyik legerősebb és leggyakrabban használt tétele a sztochasztikus analízisnek. Folytonos d dimenziós X = (X1,…,Xd) szemimartingál és kétszer folytonosan differenciálható f: Rd-ből R-be függvény esetén azt állítja, hogy f(X) egy szemimartingál és
Ez eltér a hagyományos kalkulus láncszabályától a kvadratikus kovariációt tartalmazó [Xi,Xj ] tag miatt. A formula általánosítható nem folytonos szemimartingálokra egy egyszerű ugró tag hozzáadásával hogy biztosítsuk hogy a jobb és bal oldalak ugrásai megegyeznek (lásd Itó-lemma).
Martingál integrátorok Lokális martingálok
Az Itô integrál egy fontos tulajdonsága, hogy megőrzi a lokális martingál tulajdonságot. Ha M egy lokális martingál és H egy lokálisan korlátor, megjósolható folyamat, akkor H · M szintén lokális martingál. Nem lokálisan korlátos integrandus esetén léteznek példák, ahol H · M nem lokális martingál. Habár ez csak akkor fordulhat elő, ha M nem folytonos. Ha M folytonos lokális martingál, akkor egy H megjósolható folyamat M-integrálható akkor és csakis akkor, ha ∫0tH² d[M] véges minden t esetén és H · M mindig lokális martingál.
A legáltalánosabb állítás nem folytonos M lokális martingálokra, hogy ha (H² · [M])1/2 egy lokálisan integrálható, akkor H · M létezik és lokális martingál.
Négyzetesen integrálható martingálok
Korlátos integrandusokra az Itó sztochasztikus integrál megőrzi a négyzetesen integrálható martingálok terét, ami azon M càdlàg martingálok halmaza, melyekre E(Mt²) véges minden t esetén. Minden ilyen M négyzetesen integrálható martingálra, az [M] kvadratikus variáció folyamat integrálható és az Itô izometria állítása szerint
Ez az egyenlőség általánosabban is igaz minden olyan M martingálra, amelyre H² · [M]t integrálható. Az Itô izometriát gyakran használják a sztochasztikus integrál konstrukciójának egy fontos lépéseként, minek során H · M-et mint ennek az izometriának egyszerű integrandusok bizonyos osztályairól minden korlátos, megjósolható folyamatra való kiterjesztéseként definiálják.
p-integrálható martingálok
Minden p>1 és korlátos, megjósolható integrandus esetén a sztochasztikus integrál megőrzi a p-integrálható martingálok terét. Ezek azok a càdlàg martingálok, melyekre E(|Mt|p) véges minden t esetén. Habár ez nem mindig igaz ha p=1. Léteznek példák olyan integráljaira korlátos, megjósolható folyamatoknak valamely martingál szerint, amelyek maguk nem martingálok.