A matematikai analízisben Dini tétele azt mondja ki, hogy ha egy kompakt topologikus tér, pedig -en értelmezett monoton csökkenő, folytonos és valós függvényekből álló függvénysorozat, amely pontonként konvergál egy folytonos függvényhez, akkor ez a konvergencia egyenletes is. A tétel állítása analóg módon teljesül abban az esetben is, amikor az függvénysorozat monoton növekedő.
A tétel megfogalmazása Legyen egy kompakt metrikus tér és tegyük fel, hogy
(a) minden esetén egy folytonos függvény,
(b) az függvénysorozat pontonként konvergál az halmazon egy folytonos függvényhez,
(c) minden esetén teljesül minden esetén.
Ekkor az függvénysorozat egyenletesen konvergál az függvényhez a halmazon.
Bizonyítás
Minden esetén tekintsük a módon megadott függvényeket. Ekkor minden esetén esetén a függvények folytonosak, pontonként az azonosan zéró függvényhez konvergálnak és teljesül. Azt kell megmutatnunk, hogy egyenletesen az halmazon.
Ehhez legyen tetszőleges. Minden esetén legyen azon pontok halmaza, amelyekre teljesül. Mivel a függvények folytonosak, ezért a halmazok zártak. Azonban kompakt metrikus tér, és kompakt metrikus tér zárt részhalmazai kompaktak. Így a halmazok nemcsak zártak, hanem kompaktak is.
Mivel minden esetén teljesül, ezért . Legyen tetszőleges, de rögzített. Mivel , ezért , ha elég nagy. Ezért . Mivel tetszőlges volt, ezért ebből adódik. Ez az kompaktsága miatt csak úgy lehet, hogy van olyan , hogy , és ekkor minden esetén.
Ez utóbbi azonban éppen azt jelenti, hogy teljesül minden és esetén.
Megjegyzések Dini tételéből a (c), úgynevezett monotonitási feltétel nem hagyható el. Valóban, legyen ugyanis minden esetén
Ekkor az függvénysorozat egy olyan folytonos függvényekből álló sorozat, amely a intervallumon az folytonos függvényhez konvergál. A konvergencia viszont nem egyenletes a intervallumon. Legyen ugyanis minden esetén . Ekkor
teljesül. Így,
Megjegyezzük továbbá, hogy Dini tételében a halmaz kompaktsága egy lényeges feltétel. Például, ha és
Akkor az függvénysorozatra teljesülnek a fenti tétel (a), (b) és (c) feltételei, a konvergencia azonban mégsem egyenletes az halmazon. Ebben a példában az halmaz nyilvánvalóan nem kompakt.
Források Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 150. oldal.
Rudin, Walter (1978) A matematikai analízis alapjai. Ford. Antos Péter, Somogyi Péter, Szabados Tamás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, .
Kategória:Topológia