A matematikában a pontonkénti konvergencia az egyik mód, ahogyan függvénysorozat egy határfüggvényhez konvergálhat.
Legyen { fn } függvények egy sorozata, amelyeknek értelmezési tartománya megegyezik. Azt mondjuk, hogy az { fn } sorozat pontonként tart f-hez, ha
a tartomány minden x pontjában.
Ezt a konvergenciafajtát gyakran
jelöli. Gyakran rövidítik is a pointwise szót, a rövidítés pw; és gyakran a nyílra írják. Tulajdonságai A fogalmat gyakran szembeállítják az egyenletes konvergenciával, amit gyakran a nyílra írt e betű jelöl. Az egyenletes konvergencia erősebb, mint a pontonkénti, mert az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti, de a pontonkénti konvergenciából nem következik az egyenletes. Például
Folytonos sorozatok pontonkénti határfüggvénye lehet nem folytonos:
értéke 1, ha x egész, és 0, ha nem egész, így minden egész helyen szakadása van.
A pontonkénti konvergencia nemcsak valós, vagy komplex értékű függvényekre értelmezhető, hanem a függvények topologikus terek pontjaira is képezhetnek. Az egyenletes konvergencia azonban nem értelmezhető minden topologikus térbe képező függvénysorozatra, hanem metrikus, vagy általánosabban uniform terek kellenek hozzá. Topológia A pontonkénti konvergencia ugyanaz, mint a konvergencia az YX szorzattopológiában, ahol X az értelmezési tartomány, Y pedig a függvények értékkészleteit tartalmazó tartomány. Ha Y kompakt, akkor Tyihonov tétele miatt YX is kompakt.
Konvergencia majdnem mindenütt A mértékelméletben szó esik majdnem mindenütt való konvergenciáról, ha a függvénysorozat tagjai mérhető halmazon definiált mérhető függvények. Ez pontonkénti konvergenciát jelent majdnem mindenütt. Jegorov tétele szerint a majdnem mindenütt való konvergencia egy véges mértékű halmazon egy kisebb halmazon való egyenletes konvergenciát von maga után.
Források
Fordítás
Kategória:Konvergencia (matematika)