A matematikai analízis nevezetes Hermite–Hadamard-egyenlőtlensége Charles Hermite és Jacques Hadamard francia matematikusokról kapta nevét. Az egyenlőtlenség azt állítja, hogy amennyiben ƒ : [a, b] → R konvex függvény, akkor

Geometriailag az egyenlőtlenség azt állítja, hogy a konvex f függvény [a, b] intervallumon számított integrálja (vagyis az f grafikonja alatti terület) nagyobb vagy egyenlő, mint a b–a és f((a+b)/2) méretekkel rendelkező téglalap területe, valamint kisebb vagy egyenlő az (a, 0); (a, f(a)); (b, f(b)); (b, 0) csúcsokkal rendelkező trapéz területénél. Az egyenlőtlenségben akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha f lineáris függvény. A fenti egyenlőtlenség ekvivalens f Jensen konvexitásával.

Az egyenlőtlenség jobb oldalának egyik legtermészetesebb általánosítása Retkes Zoltán nevéhez fűződik. Ahhoz, hogy az általános eredményt meg tudjuk fogalmazni, be kell vezetni az f iterált integráljainak fogalmát. Valójában ez a fogalom a deriválás negatív egész kitevőjű kiterjesztése. Az antiderivált kifejezés így nyer értelmet.

Az iterált integrálok sorozata

Tegyük fel, hogy , és legyen f: [a, b] → integrálható valós függvény [a, b]-n. A fenti feltételek mellett az f iterált integráljainak sorozatát a következőképp definiáljuk az a ≤ s ≤ b értékekre:

Példa 1

Legyen [a, b] = [0, 1] és f(s) ≡ 1. Ekkor a konstans 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0, 1]-en, és

Példa 2

Legyen [a, b] = [-1, 1] és f(s) ≡ 1. Ekkor az 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [-1, 1]-en, és

Példa 3 Legyen [a, b] = [0, 1] és f(s) = es. Ekkor az f függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0, 1]-en, és

Tétel (Retkes-egyenlőtlenség) Tegyük fel, hogy , legyen f: [a, b] → konvex függvény, a<xi<b, i = 1, ..., n olyanok, hogy xi ≠ xj, ha i ≠ j. Ekkor a következő egyenlőtlenség áll fenn:

ahol

A konkáv esetben ≤ helyett ≥ érvényes.

Megjegyzés 1. Ha f szigorúan konvex, akkor ≤ helyett < érvényes, valamint egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f lineáris.

Megjegyzés 2. Az egyenlőtlenség a következő értelemben éles: legyenek és

Ekkor a bal oldal határértéke létezik és

Alkalmazások (Retkes-azonosságok)

A Retkes-egyenlőtlenség egyik legfontosabb alkalmazása a következő: legyen  és . Ekkor az iterált integrálokra

Mivel szigorúan konvex, ha , szigorúan konkáv, ha , valamint lineáris az esetekben, így az alábbi egyenlőtlenségek, illetve azonosságok állnak fenn:

Az esetből következik a Retkes-konvergenciakritérium, hiszen az azonosság jobb oldalán éppen a sor n-edik részletösszege áll.Tegyük fel a továbbiakban, hogy . Ekkor a második és negyedik azonosságban helyett -t helyettesítve kapunk két új algebrai azonosságot. Az így nyerhető négy azonosságot nevezzük Retkes-azonosságoknak, melyek a következők:

Források Jacques Hadamard, "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, volume 58, 1893, pages 171–215. Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106. Zoltán Retkes, "Applications of the extended Hermite–Hadamard inequality", Journal of Inequalitites in Pure and Applied Mathematics (JIPAM), Vol 7, issue 1, article 24, (2006) Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, volume 115, April 2008, pages 339–345.

Kategória:Analízis Kategória:Egyenlőtlenségek