Ez a szócikk 1931-ig, Gödel nevezetes tételeinek megjelenéséig tárgyalja a matematikafilozófiát. A mai irányzatokra vonatkozóan lásd: matematikafilozófia.
A matematikafilozófia története azokat az eseményeket, elméleteket öleli fel, melyek a matematikáról mint tudományról való gondolkodással kapcsolatosak, vagyis hogy vajon a különböző korokban hogyan vélekedtek a matematikáról, milyen kép élt e tudományról (főképp, de nem kizárólag művelői, a matematikusok elméjében). A matematikafilozófia története nem a matematika története, hanem alapvetően a matematika tudományfilozófiájának, a matematikában felmerülő filozófiai kérdéseknek a története. Vannak olyan matematikatörténeti események, melyek nem játszanak fontos szerepet ebben a tekintetben és a matematikafilozófiai elméletek sincsenek mindig jelentős hatással magára a matematikára.
Az ókor matematikafilozófiája
A folyammenti kultúrák matematikaképe jobbra|180px|bélyegkép|A 3,4,5 oldalú háromszög egy kínai matematikakönyvben (Kr. e. 3. század) A korai civilizációk matematikai megállapításai elsősorban a technika fejlődésének velejárójaként, mint tapasztalati törvények jelentek meg. Az építészet történetének homályába vész a derékszög-szerkesztés azon módjának eredete, hogy 3, 4 és 5 egység hosszúságú köteleket kell kifeszíteni háromszög alakban, eképp az 5 hosszúságú kötéllel szemközti szög derékszög. A kör kerületének az átmérőjéhez való viszonyszámára közelítő törteket írtak fel, melyek egyik generációról a másikra hagyományozódtak.
Egyiptomban a szögletes testek térfogatának kiszámítását egyfajta átlagszámítással végezték el. Mind Egyiptomban, mind Mezopotámiában számítási eljárásokat dolgoztak ki a kevésbé egyszerűbb törtmennyiségekkel végzett számítások és a magasabbrendű műveletek megkönnyítésére. balra|180px|bélyegkép|Az egyiptomi Rhind-papirusz részlete a csonkagúla térfogatának kiszámításáról.Lásd még: Jahmesz egyiptomi írnok Az elméleti jellegű kérdések inkább szöveges feladatokban megfogalmazott első- és másodfokú egyenletek megoldására vonatkoztak, melyekben sikereket értek el, bár általános módszerük nem volt az összes gyök megkeresésére.
A matematikai tárgyú történeti forrásokból arra következtethetünk, hogy az ősi kultúrák a matematikában nem törekedtek valamiféle teljes, vagy pontos megoldás megadására. Ez annak köszönhető, hogy a matematikára elsősorban mint alkalmazott tudományra tekintettek, melynek feladata a közgazdasági, építészeti, csillagászati (ill. tengerhajózási) számítások elvégzésének megkönnyítése volt. A teljes pontosság helyett az elég jó közelítés volt a céljuk, de semmiképpen sem egy esetleges megoldás teljes körű elméleti vizsgálata, körülbelül úgy, mint a mai numerikus matematika esetén. Ezt látszik alátámasztani az is, hogy az ezzel a hagyománnyal közvetlen kapcsolatban lévő indiai matematika például az arkusztangens függvény értékeit már a 14. században végtelen sor segítségével volt képes kiszámítani (bizonyos tekintetben érvényes gondolatmenettel, noha jellemző módon a mai értelemben vett bizonyítás nélkül).
Thalész és a korai püthagoreusok (Kr. e. 7–6. sz.) jobbra|220px|bélyegkép|Proklosz szerint Thalész bizonyította először – mégpedig egybevágóságokkal –, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180° A görög matematika, szemben az egyiptomival és a babilonival, elrugaszkodva az építészeti és közgazdaság-tudományi alkalmazásoktól, önálló tudománnyá fejlődött. A görög matematika első időszakában a geometria elsőbbséget élvezett az aritmetikával szemben, abban az értelemben, hogy a legtöbb aritmetikai fogalmat geometriaira vezettek vissza. Kialakult a matematikai tétel fogalma, mely egyfajta általánosságot kifejező matematikai kijelentés, szemben a tapasztalattal és az esetleges megállapításokkal. Amikor valaminek a létezését kívánták megmutatni, akkor azt főként elemi geometriai úton tették, mely eljárást szerkesztésnek, konstrukciónak neveztek. A szerkesztéshez csak körzőt és vonalzót használtak.lásd: euklideszi szerkesztés A tételek igazságának felismerési módja – a „belátás” és „megmutatás” – ábrák segítségével átélhető vizuális élmény, amely még nem a levezetés, de már az általánosság fennállásának gondolati úton történő igazolása volt. A geometriában ez ábrákkal, a számtanban kavicsokkal történt.
balra|180px|bélyegkép|Az első n természetes szám összege a „kavicsmodellel” Thalész bizonyítási módszere a „kongruenciabizonyítás” volt, melynek alapelve az egybevágóság, illetve az átdarabolhatóság. Ezek lényegében véges, konstruktív (a gyakorlatban végrehajtható) bizonyítási eljárások. Síkgeometriai bizonyításait akár papírlappal, ollóval, az alakzatok kivágásával és egymásra helyezésével is elvégezhetnénk.
Az első időszak Püthagorasz iskolájának megjelenésével zárult le, és kezdetét vette az aritmetika korszaka. A püthagoreusok világképük alapjául a számokat választották. A világegyetem harmóniáját a számok tökéletességével kapcsolták össze. Aritmetikai szemléletre épülő matematikaképük akkor került válságba, amikor bebizonyosodott, hogy a négyzet átlójának és oldalának aránya nem fejezhető ki két egész szám hányadosaként, azaz nem aritmetikai fogalom. A megoldást az aritmetika újbóli geometrizálása jelentette, mely a knidoszi Eudoxosz megalkotta arányelméleten alapult.
A deduktív matematika hajnala (Kr. e. 6–4. sz.) jobbra|250px|bélyegkép|Az indirekt bizonyítás elve. Legyen T egy deduktív elmélet és ⊢ az elméletből történő levezethetőség vagy bizonyíthatóság jele. Ha a T elmélet axiómáihoz hozzávéve az A állítás ellentettjét (T U ¬A) ellentmondásra jutunk (f – „false”), akkor A tétele lesz a T elméletnek (T ⊢ A).
Az eleai filozófia, Parmenidész és az eleai Zénón hatására megjelent az igény a deduktív bizonyításra. Filozófiai okokból az indirekt bizonyítást tekintették az igazság egyedüli kifejezési módjának. A legkorábbi deduktív értekezés Eukleidész Elemeinek a párosról és páratlanról írt részének keletkezése, melyet feltehetően még a püthagoreusok alkottak. Az absztrakt bizonyítás módszerének hatékony alkalmazása vezetett el ahhoz a felismeréshez, hogy a négyzetgyök kettő nem racionális szám (inkommenzurábilis arány). A számfogalom biztos alapra helyezése végett ebben az időben keletkezett Eudoxosz arányelmélete, mely később történeti alapját képezte Dedekind, a valós számok halmazelméleti definíciójára vonatkozó kutatásainak. A deduktív matematika és a logika kezdetei tehát összekapcsolódnak a görög matematika újbóli geometrizálódásával.
balra|200px|bélyegkép|Illusztráció a platóni barlanghasonlat nyomán. Ahogy az árnyék az árnyékvetőnek, úgy a világ dolgai az örök ideáknak leképeződései.
Platón ideatana adott először magyarázatot a matematikafilozófia egyik legfontosabb kérdésére, mégpedig hogy miből ered a matematikai tételek nagy fokú objektivitása. Platón szerint „árnyékvilágban” élünk, tárgyaink, fogalmaink nem valóságosak. A valóságos létezők az ideák világában keresendők. Amikor geometriai alakzatokról fogalmazunk meg tételeket, akkor valójában felfedezzük az ideális világ, ideális alakzatainak tulajdonságait. A matematikai fogalmak ideáinak létezéséből következik, hogy minden ember ugyanazokat a matematikai kijelentéseket tekintheti csak igaznak. Platón ezzel a gondolattal megalapozta azt a filozófiai álláspontot, melyet a 21. században a jelentés referenciális elméletének, vagy metafizikai realizmusnak nevezünk. Ennek matematikai válfaja a matematikai realizmus, melyre gyakran hivatkoznak úgy, mint platonizmus, ami rendkívül erős elmélet, habár kritikusainak ellenérvei sem gyengébbek.
Eukleidész és kora (Kr. e. 4. sz.) jobbra|220px|bélyegkép|Az Elemek ábrájának mai átdolgozása a Pitagorasz-tételhez. A tételt egybevágóságokkal, a megfordítást indirekt bizonyítással igazolja. A matematikai tudást rendszerezett formában tankönyvekbe foglalták, melyek címe Elemek (ti. a geometria és az aritmetika tudományának elemei) volt. Az egyetlen fennmaradt ilyen összefoglaló mű Eukleidész Elemek c. könyve (feltehetőleg azért, mert ez volt a legjobb, így ez volt a legnagyobb példányszámú). A deduktív tárgyalásmód hármas talapzaton nyugodott: definíciók, posztulátumok és axiómák. Az axiómák olyan állítások, melyeket a korban evidensnek tartottak, a posztulátumok ezzel szemben egyesek által vitatott, de Eukleidész által „megkövetelt” kiinduló állítások voltak. Eukleidész idejére a konstruktív módszer (ábrák és szerkesztés) egyensúlyba került az indirekt bizonyítással (redukció ad abszurdum – visszavezetés a lehetetlenre). Például mind a Thalész-tételt, mind a Pitagorasz-tételt átdarabolással (vagy átdarabolásra visszavezethető módon) igazolták, mely bizonyításban nagy szerepet kapott az ábra. Megfordításukat viszont indirekt látták be, amely a logika nem csekély ismeretéről árulkodik. Erre a korszakra vezethető vissza a klasszikus logika azon álláspontja, mely szerint valamely matematikai objektum létét úgy is lehet igazolni, hogy mutatunk rá példát, de úgy is, hogy nem létezésének feltételezéséből ellentmondásra jutunk. Ekkor foglalja össze Arisztotelész az Organonban a klasszikus logika alapelveit, és mutat rá annak korlátaira.
Késői görög matematika (Kr. e. 4. sz. – Kr. u. 4. sz.) jobbra|300px|bélyegkép|Az ABC háromszög és az AB szakasz feletti parabolaszelet területének aránya 3:1 (AC párhuzamos a tengellyel, BC érintő). Arkhimédész bebizonyította, hogy az I súlypontba feltételezve a háromszög tömegét és a J pontba sűrítve a parabolacikk súlyát, a D-n felfüggesztett JB emelő egyensúlyba kerül. Arkhimédész fizikai szemlélettel állt hozzá a tételek felismeréséhez. Ezzel ő volt a heurisztikus módszer (és Pólya György heurisztikájának) előfutára, a felfedezés és intuíció fontosságát hangsúlyozta. Olyan intuitív és újszerű gondolatokkal közelített a geometriához, ami nem cáfolt rá feltaláló mivoltára. A szakaszokban emelőket, a háromszögek középpontjában súlypontot látott. A görbevonalú síkidomok területét annak végtelen sok végtelenül keskeny sávra bontásával számította ki. Ugyanezt a pergai Apollóniosz végtelen közelítő mértani összeggel határozta meg.
Papposz matematikatörténeti művet írt. Összefoglalta a matematika módszertanát, amelyben lényeges szerepet szánt a heurisztikának. Megfogalmazta a párhuzamossági axióma (Eukleidész V. posztulátumának) egy átfogalmazását. Célja – mint sok elődjének – az volt, hogy az ötödiket megpróbálja levezetni az első négy posztulátumból. Ezenkívül Papposz rámutatott arra, hogy a matematikai tételeknek mindig meg kell vizsgálni a megfordításukat. Akkor jutunk ugyanis előbbre a tétel megértésében, ha megismerjük egyrészt minden lényeges következményét, másrészt mindent amiből következik. A leghasznosabb a tétel megértésében viszont az, ha minél több ekvivalens megfogalmazására bukkanunk. Ezzel Papposz a matematikai kijelentések jelentésének egyfajta – nem feltétlenül platonista (mai elnevezéssel verifikacionista) – meghatározását adta.
Az újkor matematikafilozófusai (16–18. sz.)
Galilei az eukleidészihez hasonló módon rendezte deduktív rendszerbe a kinematikáról írt művét. Felfedezte a végtelennel kapcsolatos, már Zénónnál is megjelenő paradoxont, ami szerint „a rész egyenlő az egésszel”. Ez a felismerés a 19. században Cantornál jött elő újra, mint a végtelenség definíciója. Galilei úgy tartotta, hogy a matematika a természet nyelve.
Descartes megírta Értekezések a módszerről című könyvét, amelyben megfogalmazta a tudományos kutatás máig érvényes kritikus alapállását. Eszerint:
Semmit ne fogadjunk el igaznak, míg annak igaz, vagy evidens voltáról meg nem győződünk. Ne tegyünk elhamarkodott tudományos kijelentéseket. A kutatás tárgyát annyi gondolati egységre osszuk, ahányra csak lehet, az alapos és kimerítő tárgyalás érdekében. Az érvelésnek rendszerezettnek kell lennie. A felépítésnek az egyszerűbb fogalmaktól az összetettebbekig kell haladnia. Mindenütt teljes felsorolásra, általános kijelentések megfogalmazására törekedjünk.