thumb|right|300px|Harmadfokú Bézier-görbe A Bézier-görbe a számítógépes grafikában gyakran használt parametrikus görbe. A Bézier-görbe több dimenzióra való általánosítását Bézier-felületnek nevezik, ezeknek speciális esete a Bézier-háromszög.
A vektorgrafikában a Bézier-görbéket szabadon alakítható sima görbék modellezésére használják. A képszerkesztő programok, mint például az Inkscape, Adobe Photoshop vagy a GIMP a görbe vonalak rajzolásához egymáshoz kapcsolt Bézier-görbék sorozatát használják. Ezeket a görbéket nem korlátozza a raszterképek felbontása és interaktívan alakíthatóak. A Bézier-görbéket a számítógépes animációban a mozgások vezérlésének eszközeként is használják olyan programok, mint például az Adobe Flash, Adobe After Effects, Microsoft Expression Blend, Blender, Maya és az Autodesk 3D Studio Max.
A Bézier-görbéket az idő dimenziójában is használják, különösen az animációkban és az interfésztervezésben, azaz Bézier-görbéket lehet használni a képernyőn végbemenő mozgások sebességének az idő függvényében való megadására ahelyett, hogy fázisképenként egyszerűen néhány képpontnyi elmozdulást írnának elő.
A Bézier-görbék a matematikában jóval a számítógépek illetve számítógépes grafika megjelenése előtt ismertek voltak. Szergej Natanovics Bernstein orosz matematikus 1912-ben publikált cikkében a Hermite-polinomokkal kapcsolatos kutatásai során definiálja a később róla elnevezett Bernstein-polinomot. Ezt a x ∈ [0, 1] intervallumra korlátozott Bernstein-polinomot használta fel Pierre Bézier a Renault gyár mérnöke a számítógépes grafikai tervezésben.http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-bezier#2 From Bézier to Bernstein
A Bézier-görbékről 1962-ben Pierre Bézier francia mérnök sok publikációja jelent meg, aki a gépkocsi-karosszériák tervezésénél használta azokat. A görbék számítógépes grafikai alkalmazásához szükséges számítógépes algoritmust 1959-ben Paul de Casteljau dolgozta ki. Ez a Bézier-görbék előállításának egy numerikusan stabil módszere: a róla elnevezett de Casteljau-algoritmus.
Alkalmazás Számítógépes grafika A Bézier-görbéket széles körben alkalmazzák a számítógépes grafikában sima görbe vonalak modellezésére. A görbék interaktív módszerrel is könnyen igazíthatók kontrollpontjaik mozgatásával. Affin transzformációjuk, mint például a transzláció és a rotáció, könnyen elvégezhető kontrollpontjaik megfelelő transzformációjával.
Általában másod- és harmadfokú Bézier-görbéket használnak; a magasabb fokszámú görbék előállítása túlságosan sok számítást igényel. A bonyolultabb alakú vonalak közelítő alakját alacsonyabb fokszámú Bézier-görbékből állítják össze. A csatlakozási pontokon a görbe simaságát az biztosítja, ha a közös pont és a hozzájuk közelebb eső kontrollpontok egy egyenesen fekszenek.
A Bézier-görbe raszterré alakításának legegyszerűbb módja az, ha sok közel fekvő pontját meghatározzák, majd ezeket közelítő egyenesekkel összekötik. Ennek a módszernek a hibája, hogy nem biztosítható, hogy a raszterkép mindenütt elegendően simának látszódjék, ha a pontok túlságosan távol helyezkedhetnek el egymástól. Emiatt sokszor túlságosan sok pontot generál az ilyen algoritmus az egyeneshez közel álló görbék esetében. Szokásos módszer a rekurzív felosztásos eljárás, melynek során az algoritmus ellenőrző pontokat vizsgál meg, hogy a közelítő egyeneshez eléggé közel fekszenek-e, és ha nem, a két pont között további pontot jelöl ki, majd megismétli az eljárást.
Animáció Animációnál a Bézier-görbéket például mozgások leírására használják. A felhasználó kijelöli a kívánt útvonalat, az alkalmazás pedig előállítja az objektum mozgásának megfelelő képkockákat. A módszer térbeli mozgásokra is alkalmazható.
Betűk A TrueType betűkészlet másodfokú Bézier-görbékből összeállított Bézier-splineokat használ a betűk megjelenítéséhez.
A korszerű képmegjelenítő rendszerek, mint a PostScript, Asymptote és a Metafont harmadfokú Bézier-görbékből álló Bézier-splineokkal rajzolja fel a betűket.
Különböző fokszámú görbék Lineáris Bézier-görbe Adott a P0 és P1 pont, a lineáris Bézier-görbe egyszerűen a két pontot összekötő egyenes szakasz. A görbét a
függvény írja le, és ekvivalens a lineáris interpolációval.
Másodfokú Bézier-görbe A másodfokú Bézier-görbét három pont: a P0, P1, és P2 határoz meg, és a B(t) függvény írja le:
A görbe a P0 ponttól indul a P1 pont irányába, majd elhajlik, és a P2 pontban végződik. Más szavakkal mind a P0, mind a P2 pont érintője átmegy a P1 ponton. Ez közvetlenül látható a Bézier-görbét leíró függvény deriváltjából:
A másodfokú Bézier-görbe egyben egy parabolaív is.
Harmadfokú Bézier-görbe A harmadfokú Bézier-görbét (egy síkban fekvő vagy térbeli elhelyezkedésű) négy pont: P0, P1, P2 és P3 definiál. A görbe a P0 pontból indul a P1 irányába és a P3 pontba érkezik a P2 irányából. Általában nem halad át a P1 vagy P2 ponton, ezek csak az irányokról adnak információt. A P0 és P1 pont közötti távolság azt határozza meg, hogy „milyen hosszan” halad a P2 irányába, mielőtt a P3 pont felé fordul. A görbe parametrikus egyenlete:
A P1 és P2 bizonyos elhelyezkedése önmagát metsző vagy csúcsos görbét eredményezhet.
Általánosítás Az n-edfokú Bézier-görbe a következőképpen általánosítható. Legyen n+1 pont: P0, P1,..., Pn, a Bézier-görbe egyenlete:
ahol a binomiális együttható.
Például n = 5 esetre:
Ez az összefüggés az alábbi rekurzív formulával fejezhető ki: Jelölje a P0, P1, ..., Pn pontokkal meghatározott Bézier-görbét. Ezzel
Más szavakkal az n-edfokú Bézier-görbe két (n – 1)-edfokú Bézier-görbe közötti lineáris interpoláció.
thumb|Negyedfokú Bernstein-polinomok a [0, 1] intervallumon.
Tulajdonságai A parametrikus görbékhez néhány fogalom kapcsolódik. A Bézier-görbe egyenlete
ahol a
polinomok az úgynevezett n-edfokú Bernstein polinomok, ahol t0 = 1 és (1 – t)0 = 1.
Az binomiális együttható alternatív jelölése
A Pi pontokat a Bézier-görbéhez tartozó kontrollpontoknak hívják. A görbéhez tartozó keret a kontrollpontok egyenesekkel való összekötésével kialakított tört vonalsorozat.
A görbe a P0 pontnál kezdődik és a Pn pontnál ér véget. Ezt a módszert végpont interpolációnak hívják. A görbe akkor és csakis akkor egyenes vonal, ha a kontrollpontok egy egyenesen fekszenek. A görbe kezdőpontjának (végpontjának) érintője a keret első (utolsó) szakasza. A görbét bármely pontjánál két részgörbére lehet vágni, mindkettő szintén Bézier-görbe. Néhány egyszerűnek látszó görbe (például a kör) nem helyettesíthető pontosan Bézier-görbével vagy szakaszaival, bár négy harmadfokú Bézier-görbével közelített kör a pontos alakzattól mindössze egy ezredrésznyire tér el a kontrollpontok megfelelő felvételével. Egy Bézier-görbéhez rajzolt egyenközű („párhuzamos”) görbét néhány kivételtől eltekintve nem lehet Bézier-görbével pontosan leírni.
Bézier-görbék szerkesztése
240px|Animation of a linear Bézier curve, t in [0,1]Lineáris Bézier-görbe animációja, 0 ≤ t ≤1 Lineáris görbe A t paraméter a lineáris Bézier-görbe esetén szemléletesen a B(t) távolságát jelenti a P0 ponttól a P1 irányában. Például t=0,25 esetén a B(t) a P0 ponttól P1 pontig terjedő távolság negyed részét tette meg. A B(t) egyenest ír le a P0 pont és a P1 pont között.
Másodfokú görbe A másodfokú Bézier-görbéknél a Q0 és Q1 segédpontot a t paraméter függvényében így lehet szerkeszteni: (t 0 és 1 között változik) A Q0 pont helyzete P0 ponttól P1 pontig változik, miközben lineáris Bézier-görbét ír le. A Q1 pont helyzete P1 ponttól P2 pontig változik, miközben lineáris Bézier-görbét ír le. A B(t) pont helyzete Q0 ponttól Q1 pontig változik, miközben másodfokú Bézier-görbét ír le.
240px|Construction of a quadratic Bézier curve240px|Animation of a quadratic Bézier curve, t in [0,1]Másodfokú Bézier-görbe szerkesztéseMásodfokú Bézier-görbe animációja, 0 ≤ t ≤ 1
Magasabb fokszámú görbék Magasabb fokszámú görbékhez több közbenső pont szükséges. Harmadfokú görbéhez Q0, Q1, és Q2 közbenső pontot lehet szerkeszteni, ezek lineáris Bézier-görbéket határoznak meg, az R0 és R1 pont pedig másodfokú Bézier-görbét ír le:
240px|Construction of a cubic Bézier curve240px|Animation of a cubic Bézier curve, t in [0,1]Harmadfokú Bézier-görbe szerkesztéseHarmadfokú Bézier-görbe animációja, 0 ≤ t ≤ 1
Negyedfokú görbéhez a Q0, Q1, Q2 és Q3 pont lineáris, az R0, R1 és R2 pont másodfokú, az S0 és S1 pont pedig harmadfokú Bézier-görbét határoz meg:
240px|Construction of a quartic Bézier curve240px|Animation of a quartic Bézier curve, t in [0,1]Negyedfokú Bézier-görbe szerkesztéseNegyedfokú Bézier-görbe animációja, 0 ≤ t ≤ 1
Fokszámemelés Az n-edfokú Bézier-görbét ugyanolyan alakú n + 1 görbévé lehet alakítani. Ez akkor hasznos, ha az adott szoftver csak bizonyos fokszámú Bézier-görbéket támogat. Például rajzolható negyedfokú Bézier-görbe a Cairo programmal is, holott az csak harmadfokú Bézier-görbét használ.
A fokszám emeléshez az egyenletből lehet kiindulni. Minden tagot megszorozva (1 – t) vagy t szorzóval a fokszám eggyel emelkedik. Az alábbi példa a másodfokú görbe harmadfokúvá alakítását mutatja be:
Tetszőleges n fokszámra az alábbiak írhatók:
thumb|A P1 súlyának hatása a racionális Bézier-görbe lefutására
ahol és tetszőleges.
Az új kontrollpontok:Gerald Farin: Curves and surfaces for computer-aided geometric design. Elsevier Science & Technology Books 1997, , 4. kiadás
Racionális Bézier-görbék thumb|Kúpszeletszakaszok pontosan megjeleníthetők racionális Bézier-görbékkel A racionális Bézier-görbék további súlyokat adnak a függvényekhez abból a célból, hogy pontosabban közelítsék a kívánt alakot. A számláló súlyozott Bernstein-formájú Bézier-görbe, a nevező pedig Bernstein-polinomok súlyozott összege. A racionális Bézier-görbék többek között kúpszelet szakaszok pontos megjelenítésére használhatók
Legyen n + 1 darab Pi kontrollpont, a racionális Bézier-görbe egyenlete:
vagy egyszerűen
Tudnivalók: Bármilyen NURBS görbe hiba nélkül megadható racionális Bézier-görbék seregével is, amik a végpontjaiknál csatlakoznak. (A bizonyításhoz a NURBS csomópontvektorában minden csomópont multiplicitását k-ra kell növelni csomópontbeszúrásokkal, ha k-adfokú a NURBS, és így végül leolvashatóak a k-adfokú Bézier-görbék, amik a kibővített csomópontú NURBS szegmensei lesznek.) Ennél több is elmondható: minden k dimenziós C(t) görbe, ami explicit felírható legfeljebb n-edfokú polinomokkal, felírható n-edfokú Bézier- és B-Spline-görbeként is, és minden k dimenziós C(t) görbe, ami felírható legfeljebb n-edfokú polinomok hányadosaival, felírható n-edfokú racionális Bézier-görbeként és NURBS-ként is. Helyesebb tehát a Béziert és a NURBS-ot reprezentációnak hívni, hiszen egy adott görbét több különböző módon is reprezentálhatunk, és kiválaszthatjuk a konkrét alkalmazás szempontjából számunkra legelőnyösebb, legkényelmesebb reprezentációt. Racionális Bézier-görbék eltolási görbéje sem adható meg általában hiba nélkül racionális Bézier-görbékkel. Az ok leolvasható az eltolási görbe képletéből. Ha az eltolás értéke d, akkor: A legnagyobb baj a hányadosban szereplő gyökjellel van, ugyanis ha a gyökvonás nem végezhető el a deriváltak négyzetösszeg-polinomján szimbolikusan, akkor a helyébe írható Taylor-polinom végtelen számú nemnulla tagot fog tartalmazni. Ezt csak egy végtelen fokszámú racionális Bézier-görbével lehetne hibátlanul megadni. Jó megoldás nincs; ilyenkor az eltolási görbe jó közelítéshez vagy egy lényegesen magasabb fokszámú polinom kell (ami általában nem praktikus), vagy a kontrollpontok számát kell az elvárt hiba függvényében exponenciálisan megnövelni.
Jegyzetek
Fordítás
Külső hivatkozások
Kovács Zoltán: Számítógépi geometria. 3. fejezet Java applet Poly Bézier Curve Construction by jsDraw2D Graphics Library. The library is for JavaScript and is open source. The drawPolyBezier function in jsDraw2D implements the poly Bézier drawing algorithm.