Az Ackermann-halmazelmélet (rövidítés: A) egy alternatív halmazelmélet, amelyet Wilhelm Ackermann dolgozott ki és publikált 1956-ban.Ackermann (1956). Ackermann axiómarendszere később a standard Zermelo-Fraenkel halmazelmélet konzervatív kiterjesztésének bizonyult.Levy (1959); Reinhardt (1970). Az A elmélet osztályrealista, vagyis a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélethez (NBG) hasonlóan megengedi kötött osztályváltozók használatát.
Nyelvi keretek Az A elmélet standard elsőrendű nyelvet használ két nem-logikai primitívummal: kétargumentumú relációjel, M pedig egyargumentumú. A változók értékei a nyelv szándékolt interpretációjában osztályok. Az osztályok egy része halmaz, a többi valódi osztály. A változók alapértelmezésben nagybetűsek. „XY” szándékolt jelentése: „az X osztály eleme az Y osztálynak”; „M(X)” szándékolt jelentése: „az X osztály halmaz”.
A kisbetűs változókat halmazokra korlátozzuk. Meghatározásuk:
| def
| def
| def
Axiómák
Az A elmélet axiómái: Extenzionalitás: Különböző osztályok legalább egy elemükben eltérnek. Formulával:
Osztálykomprehenzió: Tetszőleges elsőrendű tulajdonság (X-ben nyitott formula tetszőleges paraméterekkel) meghatároz egy osztályt, amelynek elemei halmazok. Formulasémával:
(U1, …, Un a paraméterek; tetszőleges formulát rövidít, amelyben az X,U1, …, Un változókon kívül más változónak nincs szabad előfordulása; Y a tulajdonság által meghatározott osztály.) Halmazkomprehenzió: Ha egy elsőrendű tulajdonság (X-ben nyitott nyitott formula) összes paramétere halmazváltozó, nem tartalmazza az M predikátumot és az adott paraméterekkel csak halmazokra igaz, akkor az általa meghatározott osztály halmaz. Formulasémával:
(Itt u1, …, un a paraméterek; tetszőleges formulát rövidít, amelyben az X,u1, …, un változókon kívül más változónak nincs szabad előfordulása; y a tulajdonság által meghatározott halmaz.) Elemaxióma: Halmazok elemei halmazok. Formulával:
Részhalmazaxióma: Halmazok részhalmazai halmazok. Formulával:
Halmazregularitás: Ha egy halmaznak van eleme, akkor olyan eleme is van, amellyel nincs közös eleme. Formulával:
A paradoxonok elkerülése
Cantor-paradoxon Tekintsük az összes halmaz V osztályát: def Ha nem lennének valódi osztályok, akkor a tautologikus „X = X” tulajdonság csak halmazokra lenne igaz; következésképpen a halmazkomprehenziós séma miatt V halmaz volna. Később látni fogjuk, hogy ekkor V hatványosztálya is halmaz lenne; így előállna a Cantor-paradoxon. Következésképpen vannak valódi osztályok, és V egy közülük. (Ha a paradoxon kikényszerítésére törekedve V-t az {x: M(x)} absztrakcióval vezettük volna be, akkor az M jel szerepeltetése miatt nem lenne alkalmazható a halmazkomprehenzió.)
A példának van egy nagyon fontos következménye. Ha A-ban definiálható volna az M jel, akkor a definiáló formulára alkalmazhatnánk a halmazkomprehenziót, V tehát halmaznak bizonyulna, és így visszajutnánk a Cantor-paradoxonhoz. Tehát M nem lehet definiálható. Így például a következő definíciós kísérletnek is hibásnak kell lennie: *def Ez a meghatározás korrekt NBG-ben és az azzal rokon elméletekben, de A-ban nem. Itt léteznie kell legalább egy olyan valódi osztálynak, amely eleme egy valódi osztálynak. A következő szakaszban látni is fogunk ilyet.
Russell-paradoxon
Tekintsük a Russell-osztályt, vagyis az önmagukat elemként nem tartalmazó halmazok osztályát:
Ha R halmaz lenne, akkor előállna a Russell-paradoxon. De a halmazkomprehenzió nem kényszeríti ki, hogy R halmaz legyen, mivel V valódi osztály és , tehát az „” tulajdonság nem csak halmazokra igaz. (Az „” változat már csak halmazokra igaz; de szerepel benne M.)
Burali-Forti paradoxon Vezessük be a rendszámokat a szokásos Neumann-féle meghatározással, külön halmazokra és külön osztályokra. Halmazrendszámon olyan halmazt értünk, amely tranzitív, és amelyet az reláció jólrendez; osztályrendszámon pedig olyan osztályt, amely az iménti tulajdonságokkal bír. Egy rendszám rákövetkezőjét is a szokásos módon definiáljuk: def Az osztálykomprehenziós axiómasémából következik, hogy létezik a halmazrendszámok Ord osztálya. A szokásos módon bizonyítható, hogy ez egy osztályrendszám. Ha halmaz lenne, előállna a Burali-Forti paradoxon; tehát Ord valódi osztály.
Kérdés, hogy az NBG elmélethez hasonlóan A-ban is ez-e az egyetlen valódi osztályrendszám. Tegyük fel, hogy igen. Ekkor csak a halmazrendszámoknak van rákövetkezője. Tekintsük azt az elsőrendű tulajdonságot, hogy „X osztályrendszám és X-nek nincs rákövetkezője”. Ebben nincs paraméter, csak halmazokra igaz, és nem szerepel benne az M predikátum; tehát a halmazkomprehenziós séma értelmében meghatároz egy halmazt; éspedig az összes halmazrendszám Ord halmazát. Így visszajutottunk a Burali-Forti paradoxonhoz; a feltevést tehát el kell vetni.
A fentiek következtében kell, hogy létezzen legalább egy olyan osztályrendszám, amelynek van rákövetkezője. Így a halmazrendszámokhoz hasonlóan az osztályrendszámok is jólrendezett hierarchiába rendeződnek: Ord, Ord + 1, Ord + 2 stb. Mivel , a valódi osztályrendszámok konkrét példát adnak olyan valódi osztályokra, amelyek elemei más valódi osztályoknak.
Néhány tétel Létezik üres halmaz. (Vö. üreshalmaz-axióma.) Bizonyítás: A „” formula logikai igazság és M nem szerepel „”-ben; így a halmazkomprehenziós axióma értelmében az osztály halmaz. Bármely két halmaz párosztálya halmaz. (Vö. páraxióma.) Bizonyítás: Az „” formula következik az „” feltevésből; továbbá M nem szerepel „”-ben. Így az osztály halmaz. Bármely halmaz unióosztálya halmaz. (Vö. unió-axióma.) Bizonyítás: Az „” formula következik az „” feltevésből és az elemaxiómából; továbbá M nem szerepel „”-ban. Így az osztály halmaz. Bármely halmaz hatványosztálya halmaz. (Vö. hatványhalmaz-axióma.) Bizonyítás: Az „” formula következik az „” feltevésből és az részhalmazaxiómából; továbbá M nem szerepel „”-ban. Így az osztály halmaz. Létezik , a legszűkebb induktív halmaz. (Vö. végtelenségi axióma.) Bizonyítás: Tekintsük azt a tulajdonságot, hogy X eleme minden induktív osztálynak:
V, az összes halmaz osztálya induktív osztály. Ha X minden induktív osztálynak eleme, akkor V-nek is. Így , továbbá -ben nem szerepel M; vagyis a halmazkomprehenziós séma értelmében a legszűkebb induktív osztály, amelyet bevezet, halmaz lesz.
Jegyzetek
Irodalom Ackermann, W. (1956): „Zur Axiomatik der Mengenehre”. Mathematische Annalen 131. Fraenkel, A. A. -- Y. Bar-Hillel—Levy, A. (1973): Foundations of Set Theory. (2. kiadás.) Elsevier, Amsterdam &c. Levy, A. (1959): „On Ackermann's set theory”. Journal of Symbolic Logic 24. Reinhardt, W. N. (1970): „Ackermann's set theory equals ZF”. Annals of Mathematical Logic 2.
Kategória:Halmazelméleti axiómarendszerek és megalapozási paradigmák