A kommutátor a matematikában, azon belül az absztrakt algebrában azt méri, hogy két gyűrűelem egymással kommutál-e, azaz a két különböző sorrendben vett szorzatuk felcserélhető-e. Két elem kommutátora akkor és csak akkor triviális, ha a két elem kommutál.
Definíció Legyen A és B egy olyan matematikai struktúra két eleme, melyben a szorzás és a kivonás is értelmezve van. Ekkor A és B kommutátorán a kétféle sorrendű szorzatuk különbségét értjük:
Ha valamely A és B elemekre , akkor azt mondjuk, hogy A és B felcserélhető, vagy kommutál. Ha valamely S struktúra minden A,B elemére , akkor azt mondjuk, hogy az S struktúra kommutatív.
Példák Az egész, racionális, valós és komplex számok szorzása kommutatív, azaz tetszőleges és számok esetén , így a kommutátor eltűnik. A funkcionálanalízisben (illetve annak kvantummechanikai alkalmazásában) nagy jelentőségű az operátorok kommutátora. Legyen H valamilyen vektortér, és A, B ennek operátorai (azaz önmagára való lineáris leképezései). Ekkor a szorzás a leképezések egymásutáni alkalmazása. A két operátor felcserélhetősége azt jelenti, hogy a H vektortér minden x elemére . Az operátorok szorzása általában nem kommutatív. A véges dimenziós vektorterek operátorai (bázis választásával) mátrixokkal reprezentálhatók. A mátrixok szorzása szintén nem kommutatív. Legyen A egy asszociatív algebra valamely K test felett. Ekkor a fent definiált kommutátor rendelkezik a Lie-zárójel tulajdonságaival, és ezzel a zárójellel A Lie-algebra lesz., §1.2. Example 1.
Jegyzetek
Források
Kapcsolódó szócikkek
Kommutátor (csoportelmélet) – additív struktúra nélküli, tisztán multiplikatívan értelmezett kommutátorfogalom
Kategória:Gyűrűelmélet