A kollineációk a projektív és az affin geometriai terek egyenestartó leképezései. Általában azokat a kollineációkat tekintik, amik egy teret önmagára képeznek le. Két kollineáció egymásutánja szintén kollineáció, és kollineáció inverze is kollineáció. A kollineációk csoportot alkotnak a kompozícióra, mint szorzásra, és az identitással, mint egységelemmel. A kollineációcsoport ismert részcsoportjai a hasonlóságok, az egybevágóságok, a mozgások, a forgáscsoportok és az eltoláscsoport. Egy egyenes kollineációi éppen a bijekciói, így a kollineációkat legalább kétdimenziós tereken szokták tanulmányozni.
Tulajdonságai Legtöbbet a síkok kollineációival foglalkoznak, mivel a nem desargues-i síkok szerkezete nem írható le csak affinitásokkal és projektivitásokkal. A magasabb dimenziós terek mind desargues-iak, mivel bizonyítható bennük a Desargues-tétel. A sík bármely pontnégyese átvihető kollineációval bármely másik pontnégyesbe, és ez a kollineáció egyértelmű Ha egy kollineáció három, egy egyenesre illeszkedő pontot fixen hagy, akkor a teljes egyenest pontonként fixen hagyja Ha egy kollineáció három, egy ponton átmenő egyenest fixen hagy, akkor a ponton átmenő összes egyenest fixen hagyja A projektív sík kollineációi kettősviszonytartók A valós projektív sík kollineációi éppen a projektív lineáris leképezések. Ez a projektív geometria alaptétele
Az identitásra vonatkozó tulajdonságok: Ha egy kollineáció fixen hagy négy általános helyzetű pontot, akkor identitás Ha egy kollineáció fixen hagy három általános helyzetű pontot, és egy rájuk nem illeszkedő egyenest, akkor identitás Ha egy kollineáció fixen hagy egy pontot, és három rá nem illeszkedő általános helyzetű egyenest, akkor identitás Ha egy kollineáció fixen hagy négy általános helyzetű egyenest, akkor identitás Ha egy kollineációnak két, pontonként fix egyenese van, akkor identitás
Centrum és tengely Egy pont centruma egy kollineációnak, ha minden rajta átmenő egyenes fix Duálisan, egy egyenes a kollineáció tengelye, ha pontonként fix Egy kollineációnak akkor és csak akkor van tengelye, ha centruma van. Ezek a centrális-axiális kollineációk Ha egy centrális-axiális kollineáció centruma a tengelyén van, akkor eláció, különben dilatáció A projektív sík pontjainak centrális-axiális kollineációja szerinti képe megszerkeszthető, ha adva van egy egyikükre sem illeszkedő pont-pont képe pár A nem identikus centrális-axiális kollineációk összes fixpontja a centrum és a tengely pontjai Duálisan, a nem identikus centrális-axiális kollineációk összes fixegyenese a tengely és a centrumon átmenő egyenesek A rögzített centrumú centrális kollineációk részcsoportot alkotnak Duálisan, a rögzített tengelyű axiális kollineációk részcsoportot alkotnak A rögzített tengelyű elációk részcsoportot alkotnak az előbbi részcsoportban A centrális-axiális kollineációk generálják a teljes kollineációcsoportot
Affinitások Egy affin kollineáció akkor és csak akkor affinitás, ha osztóviszonytartó is Affin Desargues-sík kollineációja akkor és csak akkor affinitás, ha osztóviszonytartó is Tetszőleges affin sík kollineációja akkor és csak akkor affinitás, ha a sík bármely egyenesére vett leszűkítése előáll véges sok bijektív párhuzamos vetítés szorzatakéntSchaal (1980) 198
Az affinitások részcsoportot alkotnak a kollineációcsoportban.
Lineáris algebra Az egy testtel homogén koordinátázott projektív terek lineáris leképezései megegyeznek a tér kollineációival. A homogén koordinátázás azt jelenti, hogy a dimenziónál eggyel több koordináta van, de ezeknek csak az aránya számít. Ha egy nem nulla testelemmel végigszorozzuk a koordinátákat, akkor az új koordináták ugyanazt a pontot jelzik. Ezekben a koordináta-rendszerekben a csupa nullának nem felel meg pont.
Az affin és a projektív tér kollineációi kifejezhetők affinitások, illetve projektivitások és egy testautomorfizmus szorzataként.
Példák Nevezzük antiprojektivitásnak a komplex konjugálás és a komplex projektív tér projektivitásának szorzatát. Ekkor a projektív tér egy kollineációja vagy projektivitás, vagy antiprojektivitás Ha a koordinátatest, vagy ferdetest egyetlen automorfizmusa az identitás, akkor minden kollineáció projektivitás, vagy affinitás. Ilyen testek a prímtestek: prímelemű testek, a racionális számtest; vagy a valós számtest, sőt, minden euklideszi test.
Jegyzetek
Források
Kategória:Geometriai transzformációk