thumb|upright=1.5|Homogén gömb gravitációs potenciálja
A skalárpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Azt a skalármezőt határozza meg, aminek az adott vektormező a gradiense:
itt a vektormező, és a potenciál. Ha konzervatív erőtér, ahol a legkisebb kényszer elve szerint mindig a potenciál legnagyobb meredeksége felé mutat, akkor
A fizikában a skalárpotenciálokat a konzervatív erőterek vizsgálatához használják. Ilyen terek például az elektromos és a gravitációs mezők, továbbá az örvénymentes áramlások is.
Fogalma A potenciál fogalmának használata történeti okok miatt nem egységes. Matematikai és fizikai potenciál Habár belőle származik, nem keverendő össze a matematikai potenciál fogalma a fizikaival. Minden fizikai potenciál leírható matematikai eszközökkel, de nem minden matematikailag megadható potenciálnak van fizikai jelentése.
A fizikában a potenciál első közelítésben egy konzervatív erő munkavégző képességét jelenti. Ez már egybevág a matematikai potenciálfüggvénnyel, ami ezt a képességeit függvényértékekben jeleníti meg. Jelentheti a potenciál a függvény egyes értékeit is, mint a gravitációs és az elektromos potenciál, voltban vagy J/kg-ban mérve.
Szokás még a helyzeti energiát is potenciális energiának nevezni. Ez sem véletlenül emlékeztet a matematikai fogalomra, mivelhogy konzervatív erőtérben egy test helyzeti energiája is leírható skalárpotenciállal,[W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner]: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 741-742. nem beszélve a hidrodinamikai sebességpotenciálról, ami szintén skalárpotenciállal ábrázolható. Potenciálvektorok és potenciálmezők További zavart okoz az, hogy a potenciál szó sok szóösszetételben szerepel. Nem világos, hogy melyik összetétel kapcsolódik a skalárpotenciálhoz, és melyik a vektorpotenciálhoz. Egy ilyen zavarba ejtő szó a potenciálmező. Aki nem ismeri közelebbről a témát, az azt hiheti, hogy ez a potenciál skalármezője, de a legtöbb szerző ezt nem így használja, hanem a potenciál gradienseként kapott vektormezőt érti rajta.§4 Potentialfelder. In: Mathematik für Ingenieure III. WS 2009/2010, Universität Kiel.Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. Springer, Berlin/Heidelberg, S. 322.
Egyes szerzők a deriváltként kapott vektormezőt gradiensmezőnek nevezik, mivel a gradiensoperátor alkalmazásával kapták,Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 579. míg mások potenciálvektornak, arra emlékeztetve, hogy ennek a mezőnek van potenciálja.[W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner]: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 547-548.
Definíció és tulajdonságok Egy skalármező akkor és csak akkor áll elő skalárpotenciálként, ha egy egyszeresen összefüggő tartományon
kétszer folytonosan differenciálható létezik egy vektormező, amire:
-nek, mint a potenciál gradiensének a következő ekvivalens tulajdonságai vannak:
A görbe menti integrál útfüggetlensége, vagyis az integrál csak a végpontoktól függ, a köztük bejárt úttól nem:
A zárt görbék menti integrálok eltűnnek, azaz a körintegrálja zérus:
Ahogy definiáltuk, azaz létezik potenciál, aminek gradiense:
A mező örvénymentes, vagyis rotációja azonosan nulla:
Kapcsolat a harmonikus függvényekkel Egy kétszer folytonosan differenciálható skalármező harmonikus, ha tiszta második parciális deriváltjainak összege azonosan nulla. A Laplace-operátorral
A Poisson-egyenlet:
megoldásait potenciálfüggvénynek vagy potenciálnak nevezik.
A Laplace-egyenlet a Poisson-egyenlet speciális esete:
megoldásai a harmonikus függvények. Egyes szerzők azonban csak a harmonikus függvényeket hívják potenciálnak.[W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner]: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 743-746. A potenciálelméletet is ezekre a függvényekre szűkítik le. Példák A Newton-potenciál az egyik legismertebb skalárpotenciál:
ami csak három dimenzióban harmonikus függvény, azaz ha .
Két dimenzióban logaritmikus potenciál:[W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner]: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 746.
Az ln(1/r) = -ln(r) csak két dimenzióban harmonikus, azaz ha .
Három dimenzióban közönséges potenciál:
ΔΦ = 1/r² és ΔΦ = −1/r².
Ugyanígy, csak két dimenzióban harmonikusak a és a függvények. Poisson- és Laplace-mezők Egy skalármező gradienseként adódó vektormező örvénymentes, ezért forrásmezőnek is nevezik őket.Adolf J. Schwab; Begriffswelt der Feldtheorie; Springer, 2002, S. 18-20. (Ez nem jelenti azt, hogy nem lehetnek forrásmentesek is.)
A Poisson- és a Laplace-egyenletek megoldásaiból kapott gradiensmezők így osztályozhatók: A Poisson-egyenletből kapott függvények, amelyekre még is teljesül, Ezek a Poisson- vagy Newton-mezők. Azaz, ha egy skalárpotenciálja a megfelelő inhomogén parciális differenciálegyenlet partikuláris megoldása, akkor a derivált vektormezőket Poisson- vagy Newton-mezőknek nevezik. Nevezetes példák a gravitációs mező, vagy egy töltés körül kialakult elektromos mező, ha nincs a közelben egy másik töltés. Ekkor az erővonalak a végtelenbe tartanak. A Laplace-egyenletből kapott függvények forrásmentes Laplace-mezők, amelyekre a Poisson-egyenlet mellett még is teljesül. Azaz, ha egy mező skalárpotenciálja a megfelelő peremfeltételekkel a homogén Laplace-egyenlet megoldása, akkor a potenciál deriváltjaként adódó gradiensmező Laplace-mező. Példa erre két ellentétes előjelű töltés elektromos tere. Ekkor az erővonalak végesen a másik töltésbe futnak be.
A két mező szuperpozíciójaként adódó mezőkre totális potenciálfüggvény adható meg, ami a fenti partikuláris és homogén megoldások összegeként írható fel.
Kapcsolat a vektorpotenciállal A más vektormezők rotációjaként adódó örvénymezők forrásmentesek, és megfordítva, a forrásmentes vektormezőknek van vektorpotenciáljuk, aminek rotációi.Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung, Band 3; Vieweg + Teubner, 2008, S. 85-92.
A vektoranalízis alaptétele, más néven Helmholtz-tétel szerint majdnem minden vektortér előáll és szuperpozíciójaként, ahol az első komponens egy skalárpotenciál gradiense, a második azonban egy vektorpotenciál rotációja:
Hogyha konzervatív erőtér, amiben az erő a legkisebb kényszer elve szerint a potenciál legnagyobb meredeksége felé irányul, akkor az előbbi egyenlet így is írható:
Története A matematikai potenciálfogalmat a francia Joseph-Louis Lagrange vezette be, aki a gravitációs erő
Newton-féle képlete alapján megállapította, hogy az F erő három Fx, Fy és Fz erő összegére bontható, amelyek értelmezhetők egy közös, skalár értékű „primitív függvény”, U(x0;y0;z0) parciális deriváltjaiként.:
Amint látható, az U(x0;y0;z0) primitív függvény a tér minden (x1|y1|z1)-on kívüli pontjában értelmezve van, és m0 (negatív előjelű) helyzeti energiája m1 előterében:
Megfigyeléseit nem sokkal később potenciál néven foglalták össze. Kutatását az angol George Green matematikus és fizikus folytatta, akinek 1828-ban megjelent Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism című művében foglalkozott a potenciálfüggvénnyel. Végül Carl Friedrich Gauss 1840-ben (más források szerint 1836-banGrimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I; Leipzig 1954, S. 160.) tovább mélyítette és népszerűsítette a potenciál fogalmát.
Jegyzetek
Kategória:Vektor-, mátrix- és tenzoranalízis Kategória:A fizika matematikája