A Levi-Civita-szimbólumot a fizikai vektor- és tenzorszámításban használják. Jele ; értéke nulla, ha van két egyező index, egy, ha az indexek adott sorrendje páros permutáció, és mínusz egy, ha páratlan. Vagyis azt mutatja, hogy páros vagy páratlan sok csere kell-e az indexek rendezéséhez. A matematikában inkább a permutációk előjeléről beszélnek. A szimbólumot Tullio Levi-Civita (1873−1941) olasz matematikusról nevezték el. Használatos megnevezése még a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor.
Definíció Az n dimenziós Levi-Civita-szimbólumnak n indexe van, amelyeket általában 1-től n-ig, de néhány alkalmazásban 0-tól n−1-ig számoznak. Így definiálják: . Két index felcserélése az ellentettjére változtatja: . A második tulajdonságból következik, hogy ha két index egyenlő, akkor értéke nulla: .
Jelben
Egy alternatív definíció ugyanazt a szorzatképletet alkalmazza, amivel a permutációk előjelét definiálják:
.
Jelölje az 1 és n közötti egész számok halmazát! Ekkor a Levi-Civita-szimbólum értelmezhető egy függvényként, ahol , ha π nem bijektív, és , ha π permutáció.
Kapcsolat a determinánssal Az -es mátrix determinánsa a következőképpen írható a Levi-Civita-szimbólummal és az Einstein-féle összegkonvencióval:
Általánosabban is teljesül az összefüggés: .
A helyére az I identitásmátrixot téve helyére a Kronecker-delta kerül, így mivel , kapjuk a Levi-Civita-szimbólum következő ábrázolását:
.
ahol a szokásos ortonormált bázis -ben. Ez a mátrix annak a permutációmátrixnak a transzponáltja, ami a vektort -be viszi.
Innen a determinánsok szorzástételével
.
A Laplace-féle kifejtési tétellel kapható a következő összefüggés, amely a két tenzor első k indexét kontraktálja:
. Három dimenzióban A Levi-Civita-szimbólum ábrázolható a három ortogonális egységvektor vegyes szorzataként:
A két epszilon-tenzor szorzásában újra felhasználjuk a determinánsok szorzástételét, vagyis hogy a szorzat determinánsa megegyezik a tényezők determinánsának szorzatával. Emellett még azt is kihasználjuk, hogy a transzponálás művelete megőrzi a determinánst:
Így a két epszilon-tenzor szorzata felírható Kronecker-delták determinánsaként:
Alkalmazásai Vektorszámítás A háromdimenziós esetre adódik:
ahol .
27 értéke közül csak 6 különbözik nullától:
thumb|A háromdimenziós Levi-Civita-szimbólum értékei jobbsodrású koordináta-rendszerben thumb|right|A Levi-Civita-szimbólumok mátrixa és ... thumb|A Levi-Civita-szimbólum balsodrású koordináta-rendszerben Ebből látszik a Levi-Civita-szimbólum invarianciája a ciklikus permutációra. Ez az invariancia azonban csak páratlan dimenzióban áll fenn, mivel páros dimenzióban a ciklikus permutáció megváltoztatja az előjelet.
A következő számpélda determinánsként ábrázolja, ami három dimenzióban vegyes szorzatként is kifejezhető:
Három dimenzióban a vektoriális szorzat a Levi-Civita-szimbólum felhasználásával:
Ha az ortonormált bázis i-edik egységvektora, akkor a fenti egyenlőség az
alakot nyeri.
A vegyes szorzatra
.
ahol a Levi-Civita-szimbólum egy térfogatképlet részévé válik, hiszen a vegyes szorzat nagysága a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával egyenlő.
A Levi-Civita-szimbólum a Kronecker-deltához is kapcsolódik:
.
Innen az Einstein-féle összegkonvencióval
.
Ezek a kapcsolatok segítenek a vektoriális szorzat azonosságainak levezetésében.
Az epszilon-tenzor egy vektorhoz azt a ferdén szimmetrikus A mátrixot rendeli, amire . A vektoriális szorzat tehát kifejezhető mátrixszorzatként:
Ez a Hodge-operátor. Fizikai példa a mágneses erővektorhoz rendelt komponensek az elektromágneses mezőtenzorban. Ugyanilyen hozzárendelést kapcsolnak a pszeudovektorokhoz is.
Relativitáselmélet A relativitáselméletben különbséget kell tennünk az epszilon-tenzor ko- és kontravariáns komponensei között. Legyen a következőkben a metrikus tenzor szignatúrája a négydimenziós Minkowski-térben! Itt az indexeket nullától háromig vesszük fel. A négyszeresen kontravariáns komponens . A különböző szerzők különféle előjel-konvenciókat alkalmaznak a metrikában és az epszilon-tenzorra. Az indexek szokás szerint együtt mozognak a metrikus tenzorral. Így például a négyszeresen kontravariáns komponensre .
Az epszilon-tenzor invariáns a Lorentz-transzformációra:
Ez abból következik, hogy determinánsa 1. Az epszilon-tenzor felhasználásával a duális elektromágneses térerőtenzor is definiálható:
Ezzel a homogén Maxwell-egyenletek is tömörebben írhatók:
Ha a négydimenziós Minkowski-teret a -es hermitikus mátrixok vektorterére képezzük le, akkor újra felbukkan az epszilon-tenzor: . Itt a Pauli-mátrixok és az egységmátrix negatívja. Ennek megfelelő a tenzorok hozzárendelése. A metrikus tenzor két epszilon-tenzor szorzatára képeződik le: . Ebben a formalizmusban (Van-der-Waerden-notáció) az egy indexes mennyiségek spinorok, és az epszilon-tenzor ugyanazt a szerepet kapja a ko- és kontravariáns komponensek átszámításában, mint az metrikus tenzor a közönséges Minkowski-térben: . A metrika szignatúrájának rendszerint a (-1,1,1,1) vektort választják. Az epszilon-tenzorra az itt szokásos választás: . Kvantummechanika A kvantummechanikában a Levi-Civita-szimbólumot a forgatóimpulzus-algebra megformálására használják. Matematikai fogalmakkal a szimbólum megegyezik az Lie-algebrák struktúrakonstansaival. A következő példa illusztrálja a Levi-Civita-szimbólum használatát ebben az összefüggésben. Az Lie-algebra az -as ferdén szimmetrikus mátrixok részalgebrájának tekinthető, vagyis ábrázolható -as valós mátrixokkal. Az Lie-algebrát generálják a , mátrixok, amikben az értékek . Ekkor a generátorok kommutátorai.
Jegyzetek
Kategória:Fizika Kategória:Lineáris algebra