A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy
alakú végtelen összeg, ahol tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet: egyedül a középpont valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap az egész vagy .
A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.
Konvergenciasugár Az körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit -rel jelölve a hatványsor minden -re konvergens, amire . Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.
A konvergenciasugár a Cauchy–Hadamard-képlettel számítható:
Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:
hogyha a határérték létezik.
A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata: esetén a hatványsor abszolút konvergens ha , akkor divergens hogyha , akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról ha pedig , akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden -re, amire .
Műveletek Összeadás és skalárral szorzás Ha és hatványsorok,
c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,
akkor a és hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és
Szorzás Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és
ahol az és a sorozatok konvolúciója. Deriválás és integrálás Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:
A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával
Hasonlóan számítható a primitív függvény:
Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti. Példák A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak Exponenciális függvény: , a konvergenciasugár végtelen Logaritmus, . A konvergenciasugár 1; -ben konvergens, -re divergens Négyzetgyök, , a konvergenciasugár 1, és a sor -ben és -ben is konvergál Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort
Lásd még Laurent-sor
Források Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf] Halász Gábor: Komplex függvénytan Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, , S. 85-89, 99 E. D. Solomentsev: Power series in der Encyclopaedia of Mathematics Kategória:Analízis Kategória:Analitikus függvények