bélyegkép|jobbra|400px|Digamma-függvény a komplex síkon: a színek kódolják az s értékét, erősebb színek a zéró közeli értékeket mutatják
A ψ(x) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja.
Ez az első poligamma-függvény.
Kapcsolat a harmonikus számokkal A digamma-függvény (jelölései: ψ0(x), ψ0(x), vagy , a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz:
ahol Hn az n-edik harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans. Félegész értékekre:
Intergrállal kifejezve
ez a kifejezés akkor érvényes, ha valós része pozitív.
Kifejezhetjük:
mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.
Sorozattal kifejezve A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív egészeken kívül a következő képlettel:
vagy
Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:
,
ahol p(n) és q(n) n polinomjai.
Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:
feltéve, ha a sorozat bal oldala konvergens.
Taylor sorok A digammának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z=1-nél. Ez:
,
mely konvergál |z|<1 felé. Itt a a Riemann-féle zéta-függvény.
Newton sor A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:
ahol a binomiális együttható.
Reflexiós képlet
A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.
Gauss-összeg A digamma Gauss-összege:
egészekre. Itt, a ζ(s,q) a Hurwitz zéta függvény, és a a Bernoulli-polinom.
Gauss digammaelmélete Gauss digamma elmélete,http://mathworld.wolfram.com/GausssDigammaTheorem.htmlhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=gauss's+digamma+theorem szerint m és k ( m < k), pozitív egészekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:
Közelítések J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:
Hasonló közelítés magasabb tagokra:
Speciális értékek Gauss digamma elmélete eredményeképpen a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra:
Jegyzetek
Források
Kapcsolódó szócikkek Poligamma-függvény Trigamma-függvény Csebisev-polinomok Gamma-függvény Derivált Digamma Riemann-féle zéta-függvény Newton-sor
Kategória:Valószínűségszámítás Kategória:Valós analízis Kategória:Komplex analízis Kategória:Analitikus függvények
km:អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា