A testelmélet a matematika, azon belül az absztrakt algebra egyik ága, amely a testek (mint algebrai struktúrák) tulajdonságait tanulmányozza.
Testnek nevezünk minden olyan halmazt, mely elemei között, a valós számok összeadásának és szorzásának mintájára két olyan művelet van értelmezve, melyekre érvényesek a valós számokra megszokott legalapvetőbb számolási szabályok: mindkét művelet kommutativitása, mindkettő asszociativitása, és a 2. műveletnek az elsőre nézve való disztributivitása, valamint mindkettő invertálhatósága (a „kivonás” és „osztás” elvégezhetősége).Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Bp., 1998. . (a): 317.-318. o. (b): 319. o. (c): 319. o. (d): 320. o. A.2.4. felad. A definíció részletesebben többféle, bár hasonló és nagyrészt ekvivalens változatban is megfogalmazható (ld. a test (algebra) c. cikket).Amikor az absztrakt algebra felépítése kezdeti fázisában volt, a test definíciójából gyakorta kimaradt a szorzás kommutativitása , így amit manapság hívunk testnek, azt akkoriban kommutatív testnek vagy racionalitási tartománynak nevezték. Az újabb felfogás szerint egy test általában kommutatív; a testaxiómákat (esetlegesen a szorzás kommutativitásától eltekintve) kielégítő struktúrákat oszthatósági gyűrűnek [division ring] , oszthatósági algebrának , [magyar nyelven pedig leggyakrabban] ferdetestnek nevezik; de a nem-kommutatív test is széles körben használt elnevezés.
Történelem Konkrét testek: a törtektől a kvaterniókig
A testelmélet kialakulása történetileg elég egyértelműen a konkréttól az elvont felé haladt, vagyis először szükség volt az első példák, a racionális illetve valós számtest fogalmának kialakítására.A történeti fejlődés több különböző szinten, dimenzióban is vizsgálható: 1). Az elemek absztrakciója meddig jutott egy korszakban, tehát mennyire bő a történetileg kialakult konkrét teststruktúrák tartóhalmaza? „Milyen számokat ismertek?” 2). Mennyire volt tudatos és differenciált magának a struktúráknak, az ez(eke)t meghatározó azonosságoknak, belső összefüggéseknek a felismerése? Hol tartottak a félgyűrűktől a testekig vezető úton, azaz „milyen műveleteket ismertek”? 3). Mennyire vált empirikus mesterségből formális tudománnyá az egyes civilizációk algebrai tudása, azaz mennyire voltak absztraktak a kifejezés- és egyenletkezelési technikáik? Amint a lentebbiekből megállapítható, az ismeretbővülés (illetve néha: -szűkülés, -visszaesés) e három vonalon egyáltalán nem volt egyenletes, meglehetősen függetlenül haladt egymástól.
Egyiptom és Babilon: a törtek, az osztás, a gyökvonás és a szöveges algebra kifejlődése
A testekre vonatkozó olyan konkrét ismeretek, mint pl. a törtszámok fogalma vagy az elsőfokúaknál magasabb fokú egyenletek, már az ókori keleti civilizációkban is megjelentek.
Az ókori Egyiptomban ismerték a pozitív egész számokat és bizonyos értelemben a törteket is, utóbbiak közül azonban csak az egységnyi nevezőjűeket (törzstörtek, pl. 1/2, 1/3, 1/20 stb.) tartották fontosnak (vagy „valóságosnak”), ugyanis nagyon kevés kivételtől eltekintve, mint pl. a 2/3 és 3/4, a törteket törzstörtek összegére bontással fejezték ki (utóbbi a szorzás mint önálló művelet hiánya miatt nem is meglepő). A nem egységnyi számlálójú törtek többségére külön jelet sem vezettek be. A negatív számokat nem ismerték, és bár tudtak osztani olyan értelemben, hogy meg tudtak oldani „hányszor kell az aha-t (az ismeretlen mennyiséget) megszorozni b-vel, hogy c legyen” típusú feladatokat, azaz a mai elsőfokú egyenletekkel és elsőfokú egyenletrendszerekkel egyenértékű numerikus problémákat (b,c náluk mindig konkrét szám volt), a megoldások leírása (amely inverz műveletek alkalmazása helyett sokszor a regula falsira alapozott) és a törzstörtek használata azt valószínűsíti, hogy az osztás mint önálló számtani művelet nem tudatosult náluk külön fogalomként, noha mint eljárás, recept létezett már. Valójában a szorzás esetében sem egyértelmű ez, mivel különálló elnevezésük és algoritmusuk arra sem létezett, a többszörös duplázásra vezették vissza. Filep László: A tudományok királynője. (A matematika fejlődése). TypoTEX Kft., Bp.; Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza; 1997. . (a): 41.-46. o.; (b): 50. o.; (c): 51. o. (d): 54.; (e): 54. o.; (f): 52. o. középső bekezdései; (g): 53. o.; (h): 53. o. (i) 440. o. (dátum) és 70. o. (j): 84. o. -- A Google Könyvek-beli (nagyon erősen) korlátozott előnézetű elektronikus változat linkelve: 2012-05-02. Mindent összevetve: az óegyiptomiak legfeljebb csak a pozitív racionális számokat ismerték, melyek aritmetikai szempontból nagyon kifinomult, de algebrailag csak többé-kevésbé differenciálódott, nullelem nélküli, kommutatív, egységelemes és reguláris félgyűrűszerű struktúrát alkottak.
Testelméleti szempontból valamivel kifejlettebbnek tekinthető a babiloni matematika.Mai tudásunk szerint. Mezopotámiából több ezer matematikai agyagtábla maradt meg, Egyiptomból csak nagyon korlátozott számú papirusz; az egyiptomiak matematikai ismereteiről való tudásunk akár rendkívül hiányos is lehet. E civilizáció írnokai is ismerték a törteket, sőt, az egyiptomiak aritmetikai tudását meghaladva a nem negatív egész és tört számok helyi értékes írásmódját is elkezdték kidolgozni (noha a nulla hiánya miatt ez nem lehetett teljessé): minden nem egész mennyiséget igyekeztek hatvanados törtekben kifejezni. A törtek és az osztás fogalmát még mindig nem azonosították teljesen (a törtek elnevezései és írásjelei mérési eljárásokból származónak mutatják őket), de az osztást már reciprokkal való szorzásként végezték (e célra reciproktáblázatokat alkottak), és tetszőleges a/b törtmennyiséget úgy számoltak ki, mint a×(1/b)-t.
thumb|150px|A Yale Babilonian Collection (YBC) 7289 sz. óbabiloni agyagtábla (Kr. e. kb. 1800–1600-ból), általános vélemény szerint egy négyzet átlóhosszának, vagyis -nek öt tizedesjegyre pontosA babiloniak hatvanados törtekben számoltak, a pontosságmegadás a mi tízes számrendszerünkre való átszámítással történt. közelítő értékével. A bal oldali, felső szám a négyzet oldalának hossza (30), középen, az átlóra róva a értéke (az egységnyi oldalú négyzet átlója), alul pedig az átló valódi hossza, a két fentebbi szám szorzata, . Casselmann, B.: Analysis of YBC 7289. Oldal a Brit-Columbiai Egyetem Matematikai Tanszékének honlapcsoportján. Hozzáférés: 2012-04-30.
Sőt, rendelkeztek a négyzetgyök fogalmával is (külön négyzetgyökvonó táblázatokat is alkottak), és a gyökmennyiségeket (tehát irracionális számokat) is ügyesen (a Newton-módszerhez hasonlóan, iteratív módon) közelítették; vagyis kezelni tudtak irracionális számokhoz vezető problémákat, bár nincs írásos vagy közvetett bizonyítéka, hogy ezek irracionalitásáról fogalmuk lett volna.Valójában az egyiptomiak is ügyesen közelítették meg a π-t, egy másik irracionális számot, de ez inkább geometriai és nem algebrai tudásukat dicséri. Mindenesetre tovább léptek az egyiptomiaknál: a pozitív racionális számok félgyűrűje határozottabban (differenciáltabb törtfogalom) és egységesebb tárgyalásban (kevert hatvanados számrendszer) jelent meg, bár ezek tudatos felismerése még hiányozhatott; e mellett mindene számok már nemcsak reguláris, de kifejezetten invertálható félgyűrűstruktúrát alkottak.
Egyenletek és képletek felírása szolgáló matematikai jelrendszerük ugyan nem volt, sőt a negatív számokat sem ismerték, de a különböző másodfokú egyenletekhez vezető problémák pozitív racionális megoldásait meglehetős biztonsággal tudták megkeresni, és szöveges módon, receptszerűen, a megoldás indoklását mellőzve, leírni. Tipikus, másodfokú egyenletrendszerre vezető példa:
És a megoldás:
Egy 11x2+7x=6+(15/60) alakban rekonstruálható egyenletet úgy oldottak meg, hogy a fent x-szel jelölt ismeretlen helyett annak tizenegyedével kezdtek számolni (aminek modern analógja az x:=11y új ismeretlent bevezető helyettesítés), más problémák megoldási receptjei pedig elemi algebrai azonosságok ügyes alkalmazásaként is értelmezhetőek (bár ez, amint a következő bekezdés mutatja, vet fel bizonyos problémákat). De nemcsak a másodfokú egyenletekkel és másodfokú egyenletrendszerekkel egyenértékű (szöveges) feladatok megoldása történt meglehetős biztonsággal, sikeresen foglalkoztak egy harmadfokú egyenlettípussal is, amit ma paraméteres alakban x³+x²=p-nak írnánk (p pozitív racionális szám). Ennek megoldására külön számolótáblázatokat készítettek.
Felmerül azonban kérdés, hogy az ókori „számolótáblák” olyasfajta interpretációja, ami a formulák és tételek szerint rendezett számcsoportok alapján formulák, tételek, képletek és egyenletek explicit ismeretét tételezi fel, mennyire helyénvaló? Az agyagtáblákon és papiruszokon sorakozó számcsoportok nem árulják el ugyanis, mennyire származnak kizárólag tapasztalati megfigyelésből ezek a számtáblázatok, akár kiötlőik, akár használóik mennyire voltak tudatában ezek általánosságának, törvényszerűségének. Csak konkrét példák csodált és alkalmazott, de esetleg az oksági viszonyokat tekintve meg nem értett sorozatai-e, vagy ténylegesen felismert algebrai törvények korai és tudatos illusztrációi, a törvények algebrai kifejezését lehetővé tévő jelrendszer híján numerikus táblázatokba kényszerített módon?Vekerdi László: „Hatványoznak, gyököznek, ám kivonnak.” In: Terts István (szerk.) - Herczeg János - Vekerdi László: A véges végtelen, TypoTEX, Bp., 1996; . 142-155. o. Vekerdi pl. viszonylag részletesen (és meglehetősen kételkedve) ír az ókori számolótáblák, naptárak stb. túlságosan mai szemmel való olvasásának, értelmezésének problémájáról, az ókori keleti „matematika” empirikus jellegéről, arról, hogy tudatosan felismerhették-e az „egyenleteket”, „képleteket”, „tételeket”. Egy másik, ezzel összefüggő kérdés, hogy mennyire szakadt el az aritmetika a geometriai szemlélettől. Vannak, akik úgy vélik (Høyrup; Fowler és Robson, , 14. o.), hogy a babiloniak jórészt a görögöknél kialakulthoz hasonló geometrikus algebrát műveltek, melyben a számokat szakaszok és területek reprezentálták; a számok és mennyiségek sokkal inkább kiterjedéssel, semmint puszta nagysággal rendelkeztek.
Hellasz: az irracionális számok felfedezése, transzcendens mennyiségekhez vezető problémák
Az irracionális és ezáltal a valós számok a görögöknél, a püthagoreusok hatására jelentek meg az i.e. VI.-V. sz. környékén. Az elsőként felfedezett irracionális szám szinte bizonyosan a kettő négyzetgyöke volt, azaz az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza. Hogy az utóbbi hossz nem mérhető meg véges eljárással az oldalt mint hosszmértéket alapul véve, és így a pontos értékét lehetetlen kiszámítani, a számokat (valószínűleg keleti hatásra) misztikus tiszteletben részesítő, s azokat a világrend alapjának tekintő püthagoreusokat kétségbe ejtette.
Az intellektuális sokk elmúltával az irracionális számok köré a görögök olyan kifinomult elméletet építettek (Euikleidész: Elemek, X. könyv) , ami a maga sajátságos módján a modern matematika precizitásához és részletességéhez hasonlatos, ugyanakkor nem elsősorban algebrai szempontok érdekelték őket, hanem inkább saját geometrikus világképük és számképük fejlesztése; így inkább magukat a számokat tanulmányozták, és azokat is a mérés kedvéért, semmint a műveleteket és struktúrákat. A görög szigor így az algebra fejlődésére nézve hátrányos volt: a geometrizálás megoldotta az irracionalitás paradoxonát, azonban melléktermékként értelmetlenné tette a harmadfokúnál magasabbfokú egyenletek vizsgálatát.Laubenbacher, R. - Pengelley, D.: Mathematical Expeditions: Chronicles by the Explorers. Matematikatörténeti könyv 5. fejezetének (Algebra: The Search for an Elusive Formula , 217.-228. o.) PDF-változata (angol nyelven). 216. o. Hozzáférés: 2012-05-06.