A matematikában a G Catalan-állandó időnként a kombinatorikai becslésekben fordul elő. Definíciója:
ahol β a Dirichlet-féle bétafüggvény. Numerikus értéke közelitőenhttp://www.gutenberg.org/etext/812
G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … Nem ismeretes, hogy a G vajon irracionális szám-e, arról nem is beszélve, hogy transzcendens-e.
Az állandót Eugène Charles Catalan (1814–1894) belga matematikusról nevezték el.
Integrálazonosságok
.
és
ahol K(x) egy teljes első fajú elliptikus integrál.
Alkalmazás A G többnyire a kombinatorikában fordul elő, valamint a második poligamma-függvény értékeiben, melyet trigamma-függvénynek is hívnak (tört argumentummal):
Simon Plouffe (1956) kanadai matematikus egy végtelen azonossággyűjteményt szerkesztett, a trigamma-függvény és a Catalan-állandó között; ezek az összefüggések gráfokkal kifejezhetőek. A G feltűnik a hiperbolikus metsző típusú eloszlásban is.
Gyorsan konvergáló sorozatok
A következő két képlet gyorsan konvergáló sorozatokat tartalmaz, ezért alkalmas numerikus számításokra:
és
Az ilyen sorozatok elméleti alapjai Broadhursttől (első képlet),D.J. Broadhurst, "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)", (1998) arXiv math.CA/9803067 illetve Srínivásza Rámánudzsantól (második képlet)B.C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I., Springer Verlag (1985) származnak. A Catalan-állandó gyors számítási algoritmusát Jekatyerinya Karacuba alkotta.E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions, Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp.339-360 (1991)E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W.Krämer, J.W.von Gudenberg, eds.; pp. 29-41, (2001)
Számjegyeinek száma A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma drámai módon emelkedett az utóbbi évtizedekben. Ez részben a számítógépek teljesítménynövekedésének, másrészt hatékonyabb algoritmusok kidolgozásának köszönhető.Gourdon, X., Sebah, P; Constants and Records of Computation
A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma: + '''A Catalan-állandó ismert tizedesjegyei: Dátum Tizedesjegyek A számítást végezte: 1832 16 Thomas Clausen 1858 19 Carl Johan Danielsson Hill 1864 14 Eugène Charles Catalan 1877 20 James W. L. Glaisher 1913 32 James W. L. Glaisher 1990 20 000 Greg J. Fee 1996 50 000 Greg J. Fee 1996. aug. 14. 100 000 Greg J. Fee & Simon Plouffe 1996. szept. 29. 300 000 Thomas Papanikolaou 1996 1 500 000 Thomas Papanikolaou 1997 3 379 957 Patrick Demichel 1998. jan. 4. 12 500 000 Xavier Gourdon 2001 100 000 500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2002 201 000 000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2006. okt. 5 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 2008. aug. 10 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve PagliaruloConstants and Records of Computation 2009. jan. 31. 15 510 000 000 Alexander J. Yee & Raymond ChanLarge Computations 2009. ápr. 16. 31 026 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan April 6, 2013 100 000 000 000 Robert J. Setti June 7, 2015 200 000 001 100 Robert J. SettiCatalan's constant records using YMP
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek Kombinatorika Valószínűségszámítás Zéta-állandó Gamma-eloszlás Matematikai állandók Eloszlásfüggvény Statisztika http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html http://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html
Jegyzetek
Kategória:Kombinatorika Kategória:Valószínűségszámítás Kategória:Matematikai állandók