A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetővé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.
Definíció Komplex tartományon Legyen tartomány, izolált pont -ben és holomorf. Ekkor minden pontnak van egy pontozott környezete, , ami relatív kompakt -ben, ahol holomorf. Ekkor Laurent-sorba fejthető -ban: , és ekkor reziduuma -ban . Riemann-féle számgömb A fenti definíció kiterjeszthető a Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét diszkrét halmaz -ben és holomorf függvény. Ekkor minden mit -ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha , akkor a reziduumot a
helyettesítéssel definiáljuk, ahol egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.
Tulajdonságok Legyen tartomány, és holomorf függvény -ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt reziduuma -ban nulla. Az integrálos ábrázolás szerint az differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk. Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.
Példák Ha egy nyílt környezetében holomorf, akkor . Ha , akkor -nek elsőrendű pólusa van -ban, és ott . A logaritmikus derivált szabálya és a linearitás miatt , mivel -nal elsőrendű nullhelye van -ben. A gammafüggvénynek elsőrendű pólusa van -ben, ahol és ott a reziduuma .
Kiszámítása A komplex értékű függvények reziduuma sokszor a definíciónál könnyebben is kiszámítható. Legyenek komplex függvények, és keressük a reziduumot a-ban!
A reziduumképzés lineáris mint alaptest fölött, vagyis minden -re:
Ha -nek -ban elsőrendű pólusa van, akkor:
Ha -nek elsőrendű pólusa van -ban, és ugyanitt holomorf:
Ha -nek -ban elsőrendű nullhelye van:
Ha -nek -ban elsőrendű nullhelye van, és ugyanitt holomorf:
Ha -nek -ban -edrendű pólusa van: : Ha -nek -ban -edrendű nullhelye van: :. Ha -nek -ban -edrendű nullhelye van, és ugyanitt holomorf: . Ha -nek -ban -edrendű pólusa van: :. Ha -nek -ban -edrendű pólusa van és ugyanitt holomorf: . Ha a -beli reziduum kell, akkor: . Ekkor a helyettesítéssel:
Az logaritmikus derivált az elméletben is kapcsolódik a reziduumtételhez.
Algebrája Legyen test, és egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe fölött! Ekkor minden közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:
ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az -beli reziduumát.
Ha -racionális elem és lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha meromorf differenciálforma és lokális ábrázolás, és még
Laurent-sora -nek, akkor
Ez esetén megegyezik a függvénytani definícióval.
A reziduumtétel analógja is teljesül: Minden meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:
Források Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000. A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, Online John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4e série, tome 1, no 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF
Kategória:Komplex analízis