jobbra|bélyegkép|300px| A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált. A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e), szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma), grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe) a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan) a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.
A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre,Az alapfogalmak kiváló feldolgozása megtalálható például a következő alapműben: Spivak, Michael, Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, 1994, alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.
Pontos definíció és jelölések
Legyen f egyváltozós valós függvény, x0 az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x0-beli deriváltján vagy differenciálhányadosánA differenciálhányados inkább egy pontbeli értéket jelent, a derivált pedig az ezekből álló függvényt. A megkülönböztetés azonban annyira jelentéktelen, hogy a szakirodalomban is összemosódik. a
határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).Lásd Bátkai András, Differenciálszámítás, ELTE jegyzet .
Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele: , vagy , vagy
Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: és fluxiónak nevezte.Differential calculus, derivative entry in Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, Jeff Miller & al
Rögzített x esetén az
hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados melletti határértéke.
A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a határérték létezik és véges.
A bal oldali derivált akkor létezik, ha a határérték létezik és véges.
Magyarázat
Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is: illetve h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(x+Δx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.
Mechanikai értelmezés A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:
A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, ... másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:
Az pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.
Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.
Geometriai értelmezés Legyen egyváltozós valós differenciálható függvény, és egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje és . Ekkor a koordinátasíkon az és pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az differenciahányados. Ha tart -hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az -beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény -beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon -beli érintőjének meredekségét adja meg.
Kiszámítása Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:
A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:
Vagyis a derivált:
A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:
A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.
Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:
Elemi függvények deriváltjai
Függvény nevejelederiváltjakonstans konstans szorzó konstans alap, függvény kitevő hatvány exponenciális (e az Euler-féle szám) természetes logaritmus logaritmus (a pozitív és nem 1) Trigonometrikus függvényekszinusz koszinusz tangens kotangens Hiperbolikus függvényekhiperbolikus szinusz hiperbolikus koszinusz hiperbolikus tangens hiperbolikus kotangens Inverz trigonometrikus függvényekarkusz szinusz arkusz koszinusz arkusz tangens arkusz kotangens Inverz hiperbolikus függvényekarea hiperbolikus szinusz area hiperbolikus koszinusz area hiperbolikus tangens area hiperbolikus kotangens
Műveletek deriváltjai MűveletDeriváltja
Jegyzetek
További információk Magyarított Flash animáció a derivált geometriai jelentéséről a szinuszfüggvény példáján . Szerző: David M. Harrison
Kapcsolódó szócikkek Parciális derivált
Kategória:Differenciálszámítás