A számelméletben a Fermat–Catalan-sejtés a nagy Fermat-tétel és a Catalan-sejtés kombinációja. Nevét is ez alapján kapta. A sejtés szerint az
egyenletnek véges sok (a,b,c,m,n,k) megoldása van, ahol mindegyik szám pozitív egész, és a, b, c relatív prímek, és az m, n, k hármasra .
2008-ban az () egyenletnek ezek a megoldási voltak ismertek:.
Ezek közül az első (1m+23=32) megoldása egyértelmű, ha a, b és c egyike 1; ez a Catalan-sejtés, ma már tétel, amit 2002-ben Preda Mihăilescu igazolt. Ugyan ez az () egyenletre végtelen sok megoldást ad, mivel m bármilyen 6-nál nagyobb egész szám lehet, de minden ilyen megoldása viszont már egyértelmű.
A Faltings-tétel szerint minden rögzített m, n és k egészre, ami eleget tesz az () egyenletnek, véges sok, az () egyenletet megoldó (a, b, c) relatív prím hármas létezik, de a teljes Fermat–Catalan-sejtés ennél többet állít.
Az abc-sejtés implikálja a Fermat–Catalan-sejtést.
A Beal-sejtés azt állítja, hogy a Fermat–Catalan-sejtés minden megoldásában szerepel a 2 mint kitevő.
Források
Kategória:Számelmélet Kategória:Sejtések Kategória:Diofantoszi egyenletek