A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Lévy-eloszlás olyan folytonos valószínűség-eloszlás, mely nem negatív valószínűségi változókra érvényes.
Az eloszlás Paul Pierre Lévy francia matematikusról kapta a nevét.
A Lévy-eloszlás az inverz gamma-eloszlás speciális esete.
A Lévy-eloszlás azon kevés eloszlások közé tartozik, melyeket stabil eloszlásnak neveznek. Ilyenek még a normális eloszlás, és a Cauchy-eloszlás, melyeknek általában nincs analitikusan kifejezhető valószínűség sűrűségfüggvényük.
jobbra|bélyegkép|200px |Sűrűségfüggvény különböző c-kre
Alkalmazása Geomágneses jelenségek közel Lévy-eloszlást követnek A Brown mozgáskor egy pont Lévy-eloszlás szerint mozog Zavaros közegben egy foton pályája Lévy-eloszlást mutatRogers, Geoffrey L, Multiple path analysis of reflectance from turbid media. Journal of the Optical Society of America A, 25:11, p 2879-2883 (2008).
Definíció A sűrűségfüggvény a tartományban:
ahol a helyparaméter, és a skálaparaméter. A kumulatív eloszlásfüggvény:
ahol a hibafüggvény.
A helyparaméter hatására a görbe értékkel eltolódik jobbra. A Lévy-eloszlásnak, mint minden stabil eloszlásnak, van egy standard formája f(x;0,1), melynek a következő jellemző tulajdonsága van:
ahol y:
A karakterisztikus függvény:
A stabil eloszlásoknál a karakterisztikus függvényt , és esetekre fel lehet írni:
Feltételezve, hogy a , az nik momentum az eltolatlan Lévy-eloszlásnál:
mely divergál minden n> 0 esetében, így a Lévy-eloszlás momentumai nem léteznek. A momentum generáló függvény:
mely t>0-nál divergál, ezért nem definiálható zéró közeli tartományokban, és ezért nem definiálható saját magában. Mint minden stabil eloszlásnál, kivéve a normális eloszlást, a sűrűségfüggvény “szárnyai” viselkedése:
Ezt az alábbi ábra mutatja, ahol a sűrűségfüggvény látható különböző c és értékek mellett, log-log ábrázolásban:
jobbra|bélyegkép|200px |Sűrűségfüggvény különböző c értékeknél
Kapcsolódó eloszlások
Ha , akkor Ha , akkor (inverz gamma eloszlás) A Lévy-eloszlás 5. tipusú Pearson-eloszlás Ha (Normális eloszlás), akkor Ha , akkor Ha , akkor (Stabil eloszlás) Ha akkor (Skálázott inverz khí-négyzet eloszlás) Ha , akkor (Féloldalas normális eloszlás)
Jellemzők
Tartomány = Sűrűségfüggvény = Kumulatív eloszlás f. = Várható érték = Medián =, for Módusz =, for Szórásnégyzet = Ferdeség =nem definiált Lapultság = nem definiált Entrópia = ahol az Euler-állandó Momentgeneráló függvény = nem definiált Karakterisztikus függvény=
Irodalom 1. * Kapcsolódó szócikkek Sűrűségfüggvény Skálaparaméter Alakparaméter Eloszlásfüggvény Valószínűségszámítás Statisztika Normális eloszlás
Jegyzetek
Adatok
Kategória:Valószínűség-eloszlások