A Pareto-eloszlás folytonos valószínűségi eloszlás a [0,∞) félig végtelen intervallumon. Számos társadalomtudományi, tudományos, geofizikai és biztosítási területen alkalmazható, illetve jellemző az ezeken a területeken tapasztalt jelenségekre. A közgazdaságtan területén kívül időnként Bradford-eloszlásnak nevezik.
A Pareto-eloszlás Vilfredo Pareto (1848–1923) olasz mérnök, szociológus, közgazdász és filozófusról kapta a nevét, aki a javak egyenlőtlen elosztásának vizsgálatakor vezette be a 20. század első felében.
Alkalmazása Pareto eredetileg ezt az eloszlást egy társadalmi jelenségre alkalmazta.
Pareto azt állította, hogy a megtermelt javak közel 80%-a a társadalom 20%-ához kerül a társadalomra jellemző vagyonelosztás során.Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299–345.For a two-quantile population, where approximately 18% of the population owns 82% of the wealth, the Theil index takes the value 1.
Az elméletét a keresetek eloszlására is alkalmazta.
Ezt az elképzelést egyszerűbben az úgynevezett Pareto-elv fejezi ki, vagy más néven a „80-20-as szabály”, mely azt mondja, hogy a lakosság 20%-a befolyásolja a népesség 80%-nak a vagyonát. Megjegyzendő, hogy a 80-20-as szabály csak bizonyos α értékek mellett érvényes. A korabeli angol adatok szerint a lakosság 30%-a rendelkezik a bevételek 70%-val.
A sűrűségfüggvényen látható, hogy a lakosság tört része, mely személyre vetítve birtokolja a vagyon kis részét, illetve ennek nagy a valószínűsége, majd egyenletesen csökken, ahogy a vagyon nő. (Meg kell jegyezni, hogy a Pareto-eloszlás nem nyújt teljesen reális képet az alsó végen.)
Az eloszlás nem korlátozódik csak a lakosság vagyoni eloszlására, a következő esetekben is közelítően alkalmazható a Pareto-eloszlás:
Települések eloszlása (kevés város, sok falu/kis település) ) Internet forgalom eloszlása (sok kicsi fájl, kevesebb nagy fájl) Merevlemezek hibarátája Bose-Einstein-féle sűrűsödés az abszolút zéró közelében Olajmezők eloszlása Meteoritok mérete Homokszemcsék mérete Erdőtüzek eloszlása Meteorológiában:az évenkénti árvizek és nagy csapadékok eloszlása/valószínűsége
Meghatározás Ha X az (I. típusú) Pareto-eloszlás valószínűségi változója, akkor annak valószínűsége, hogy X nagyobb, mint x, azaz a túlélési függvény (farokfüggvénynek is hívják):
ahol xm a minimálisan lehetséges (pozitív) értéke X-nek, és α egy pozitív paraméter. Az I. típusú Pareto-eloszlást az xm skálaparaméter, és az α paraméter jellemzi, mely farokindexként is ismert.
Abban az esetben, amikor a Pareto-eloszlást a gazdagság eloszlására használják, akkor az α paramétert Pareto-indexnek hívják.
Tulajdonságok Kumulált eloszlásfüggvény bélyegkép|jobbra|300px|A Pareto-eloszlás eloszlásfüggvénye A Pareto-eloszlás kumulált eloszlásfüggvénye α és xm paraméterekkel:
Ha lineáris koordináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor az eloszlás az ismerős J-alakú görbét mutatja, mely aszimptotikusan közelít mindkét végén.
Log-log koordináta-rendszerben ábrázolva egyenes vonal adódik.
Sűrűségfüggvény bélyegkép|jobbra|300px|A Pareto-eloszlás sűrűségfüggénye
Momentum és a karakterisztikus függvény A Pareto-eloszlást követő valószínűségi változó várható értéke:
A szórásnégyzet:
(Ha , a szórásnégyzet nem létezik). A momentum:
A momentum generáló függvény csak nempozitív értékekre definiálható :
A karakterisztikus függvény:
ahol Γ(a, x) az inkomplett gamma függvény.
Geometrikus várható érték A geometrikus várható érték (G):Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1994) Continuous univariate distributions Vol 1. Wiley Series in Probability and Statistics.
Harmonikus várható érték
A harmonikus várható érték (H):
Kapcsolat más eloszlásokkal Exponenciális eloszlás A Pareto-eloszlás a következő módon kapcsolódik az exponenciális eloszláshoz: Ha X is Pareto-eloszlású minimum xm és α paraméterekkel, akkor:
akkor exponenciális eloszlású α intenzitással.
Hasonlóan, ha Y exponenciális eloszlású α intenzitással, akkor
Pareto-eloszlású, minimum xm és index α paraméterekkel.
Lognormális eloszlás A Pareto-eloszlás és a log-normális eloszlás egymásnak alternatív eloszlásai a hasonló típusú mennyiségek esetén. A kettő közötti kapcsolatra jellemző, hogy mindkét esetben a változók eloszlása exponenciális, más paraméterek mellett.
Zipf-eloszlás Míg a Pareto-eloszlás folytonos eloszlás, a Zipf-eloszlást szokták Zéta-eloszlásnak is hívni, és a Pareto-eloszlás diszkrét változatának.
Szimmetrikus Pareto-eloszlás A szimmetrikus Pareto-eloszlást a következő sűrűségfüggvénnyel definiálhatjuk:
A Pareto-eloszlással hasonló formája van esetben, és az y tengelyre tükörszimmetrikus.
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek Sűrűségfüggvény Skálaparaméter Alakparaméter Zipf-eloszlás Eloszlásfüggvény Valószínűségszámítás Statisztika Matematikai statisztika Theil-index
Jegyzetek
További információk A Pareto-eloszlás a MathWorld-ön Bevezetés Online könyv Online könyvek Online kalkulátor Pareto-eloszlás
Kategória:Valószínűség-eloszlások Kategória:Statisztika