A differenciálgeometriában az Einstein-tenzort (fordított Ricci-tenzornak is hívják) arra használják, hogy alkalmazásával kifejezzék a Riemann-sokaság görbültségét.http://www.slideshare.net/nagygp/a-differencilgeometria-alapjai Az általános relativitáselméletben az Einstein-tenzor az Einstein-féle gravitációs téregyenleteknél fordul elő, melyek az energiával kapcsolatos megfontolásokkal konzisztens módon írják le a téridő görbültségét.
Meghatározás Az Einstein-tenzor () egy másodrendű tenzor a Riemann-sokaságban. Indexmentes kifejezéssel:
ahol a Ricci-tenzor, a metrikus tenzor és a skalár görbület. Komponens formában kifejezve az előző egyenlet:
Az Einstein-tenzor szimmetrikus:
és az energia-impulzus tenzorhoz hasonlóan divergenciamentes
Explicit kifejezés
A Ricci-tenzor csak a metrikus tenzortól függ, így az Einstein-tenzort közvetlenül a metrikus tenzorral lehet definiálni. Azonban ez a kifejezés komplex, és ritkán használják. Ennek a kifejezésnek a komplexicitása jól látható, ha a Ricci-tenzort a Christoffel-szimbólumokkal fejezzük ki:
ahol a Kronecker-tenzor és a Christoffel-szimbólum meghatározása:
Egy lokális közeli pont speciális esetében, a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek, és az Einstein-tenzor komponens formája jelentős mértékben egyszerűsödik:
ahol a szögletes zárójel konvencionálisan az antiszimmetrikus tenzorra utal:
Nyom Az Einstein-tenzor nyoma kiszámítható a metrikus tenzor () definíciója egyenletének összevonásával: dimenzióban:
A 4 dimenzió speciális esete adja a -t, az Einstein-tenzor nyoma, mint a negatív , a Ricci-tenzor nyoma.
Így az Einstein-tenzor másik neve a fordított nyomú Ricci-tenzor.
Felhasználása az általános relativitáselméletben Az Einstein-tenzor lehetővé teszi, hogy az Einstein-egyenleteket (a csillagászati állandó nélkül) tömörebb formában lehessen kifejezni:
mely a geometria egységrendszerben:
Az Einstein-tenzor explicit formáját tekintve az Einstein-tenzor a metrikus tenzor egy nemlineáris függvénye, a második parciális deriváltja lineáris. Mint egy szimmetrikus másodrendű tenzornak, az Einstein-tenzornak 10 független komponense van egy 4 dimenziós térben. Ebből következik, hogy az Einstein-egyenletek 10 kvázilineáris másodrendű parciális differenciálegyenletet jelentenek a metrikus tenzornak. A Bianchi-azonosságot szintén egyszerűen lehet kifejezni az Einstein-tenzor segítségével:
Irodalom
Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976 Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963 Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006.
Kapcsolódó szócikkek Tenzor Téridő Metrikus tenzor Einstein-egyenletek Általános relativitáselmélet Parciális derivált Kronecker-delta
Jegyzetek
Kategória:Differenciálgeometria Kategória:Fizika