A variancia avagy szórásnégyzet a valószínűségszámításban egy valószínűségi változó eloszlását jellemző szóródási mérőszám.Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York A szórásnégyzet megmutatja, hogy egy valószínűségi változó milyen mértékben szóródik a várható érték (középérték) körül. A szórásnégyzet a valószínűségi változó második centrális momentuma, gyakran használják ezt a paramétert a sokféle eloszlás megkülönböztetésére, valamint elméleti számításoknál.
A szórást és az abszolút eltérést egyaránt használják eloszlások jellemzésére. A szórás jobban jellemző, mint az abszolút eltérés, valamint együtt a szórásnégyzettel és a kovarianciával alkalmazzák az elméleti statisztikában. Az abszolút eltérés robusztusabb és kevésbé érzékeny a nagy eltérésekre, melyek mérési anomáliákból származnak.
A szórásnégyzet a valószínűségi változó változásainak a mértéke, tekintetbe véve az összes lehetséges értéket és annak valószínűségeit.
Definíció Ha egy X valószínűségi változó várható értéke (középértéke) , akkor az X szórásnégyzete az X saját magával vett kovarianciája:
Azaz a szórásnégyzet a változó és a várható értéke közötti különbség négyzetének várható értéke. A kovariancia megfelelő kifejezéséből kiterjesztve:
A leggyakrabban használt levezetés a várható értékből:
Példa Tekintsünk egy hatoldalú szabályos dobókockát. A dobás után a várható érték:
A várható abszolút eltérés (az azonosan valószínű abszolút eltérések várható értéke a középértéktől):
A várható négyzetes eltérés, a szórásnégyzet:
Folytonos valószínűségi változó esete Ha X egy folytonos valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor a szórásnégyzet egyenlő a második centrális momentummal:
ahol , a várható érték,
Az integrál határozott integrál. Ha a folytonos eloszlásnak nincs várható értéke, mint a Cauchy-eloszlás esetében, akkor szórásnégyzete sincs. Több más eloszlásnak sincs szórásnégyzete, ha nem létezik várható értéke.
Diszkrét valószínűségi változó esete Ha X egy diszkrét valószínűségi változó, tömegfüggvénnyel, akkor
ahol , a várható érték: . Exponenciális eloszlás Az exponenciális eloszlás valamely paraméter mellett egy folytonos eloszlás a tartományban, a sűrűségfüggvénye
a várható értéke , és így a szórásnégyzet (variancia)
Ezért fennáll, hogy .
Főbb tulajdonságok A szórásnégyzet nem lehet negatív:
Egy állandó változó szórásnégyzete zéró, és ha a szórásnégyzet zéró, akkor 1 valószínűséggel állandó a változó:
A szórásnégyzet invariáns a helyparaméter változásaira, ha egy állandót adunk hozzá a változóhoz, a szórásnégyzet nem változik:
Ha a változót megszorozzuk egy konstanssal, a szórásnégyzet a konstans négyzetével változik.
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek Valószínűség-eloszlások listája Normális eloszlás Bernoulli-eloszlás Binomiális eloszlás Sűrűségfüggvény Skálaparaméter Alakparaméter Gumbel-eloszlás Eloszlásfüggvény Valószínűségszámítás Statisztika Burr-eloszlás Lapultság Módusz Binomiális eloszlás Negatív binomiális eloszlás Geometriai eloszlás Hipergeometrikus eloszlás Béta-binomiális eloszlás Kategorikus-eloszlás Multinomiális eloszlás Többváltozós hipergeometrikus eloszlás Poisson-eloszlás Exponenciális eloszlás Khí-négyzet eloszlás T-eloszlás F-eloszlás Bayes-tétel Béta-eloszlás Gamma-eloszlás Dirichlet-eloszlás Wishart-eloszlás
Jegyzetek
Kategória:Valószínűségszámítás