Az Erdős–Kac-tétel a valószínűségszámítás és a számelmélet területén azt állítja, hogy ha ω(n) egy n szám egymástól különböző prímtényezőinek száma, és, ha az n számot 1 és N között egyenlő eséllyel sorsoljuk ki, akkor az véletlen érték valószínűség-eloszlása standard normális eloszlást mutat, amennyiben N elég nagy.http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/ErdosKac.pdf
Ez a tétel a Hardy–Ramanujan-tétel kiterjesztése, mely azt állítja, hogy ω(n) átlagértéke log log N, a szórás pedig . Pontosabban kifejtve a < b esetre:
ahol a normális eloszlás, vagy más néven Gauss-eloszlás:
Amit Erdős és Kac bizonyít, az az, hogy ha n egy tetszőlegesen kiválasztott nagy egész, akkor n egymástól különböző prímtényezőinek száma közelítően normális eloszlású lesz, log log N variancia és várható értékkel. Ez azt jelenti, hogy például egy milliárd nagyságrendű szám felépíthető átlagosan 3 prímszámból. Például: = 23 × 307 × .
n n számjegyeinek száma Prímszámok átlagos száma szórás1000421,41031,7254210656652,21095669567103,210204,51010221022+1507,11010441044+110010101043410434+1100031,6
A számjegyből álló számok kb. 12,6%-a 10 prímből felépíthető, és 68% (±σ) 7–13 prímből. Egy 186 számjegyből álló szám átlagosan 6 prímből felépíthető.
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek http://mathworld.wolfram.com/Erdos-KacTheorem.html http://www.renyi.hu/~p_erdos/1940-12.pdf Eloszlásfüggvény Valószínűségszámítás Statisztika Matematikai statisztika Jegyzetek
Kategória:Erdős Pál Kategória:Számelméleti tételek