A matematikában a Basel-probléma az analízis egy híres problémája, melyet Pietro Mengoli (1626–1686) olasz matematikus vetett fel 1644-ben, és Leonhard Euler (1707–1786) svájci matematikus oldott meg először 1735-ben. A problémát Euler általánosította, és az ötlet alapján Bernhard Riemann (1826–1866) német matematikus definiálta a zéta-függvényt (Riemann-féle zéta-függvény), és levezette alapvető tulajdonságait.

A problémát azért hívják „Basel”-nek, mert első megoldója, Euler, itt született, valamint a nevezetes Bernoulli család is innen származik, akik nem tudtak megbirkózni ezzel a problémával.

Az alapvető kérdés az volt, hogy vajon a

kifejezés konvergens, és ha igen, akkor mi az értéke?

Ha sorbafejtjük, akkor a

végtelen sort kapjuk a természetes számok négyzetei reciprokainak összegére, melynek közelítő értéke: 1,644934.

A Basel-probléma azt kérdezi, hogy létezik-e egy zárt formula a kifejezésre, és mennyi az egzakt érték. Euler megtalálta a pontos értéket: , és levezette az eredményt 1735-ben. A szigorúan precíz bizonyítást 1741-ben publikálta. Utána még számos matematikus foglalkozott a témával, és produkált különféle bizonyításokat.

Euler megoldása Euler eredeti levezetése igazolást igényelt. Ez meg is történt 100 évvel később, amikor Weierstrass bebizonyította Euler levezetését (Weierstrass-féle faktorizációs tétel).

Kövessük Euler gondolatmenetét:

A szinusz függvény Taylor-sora:

x-szel elosztva mindkét oldalt:

A sin(x)/x (sincfüggvény) az x tengely metszésénél ahol

Tegyük fel, hogy ezt a végtelen sort ki tudjuk fejezni lineáris tényezők szorzataként, figyelembe véve x zéró helyeit, ahogy véges polinomok esetén tesszük:

Ha kiszorozzuk és felírjuk az x2 tényezőket, akkor a sin(x)/x x2-es tényezőire kapjuk:

mivel az eredeti végtelen sorban az x2 együtthatója: -1/(3!) = -1/6, a két együtthatónak egyenlőnek kell lenni, és így:

Mindkét oldalt megszorozva -tel, kapjuk a végeredményt

Irodalom

Kapcsolódó szócikkek Számelmélet Eloszlásfüggvény Valószínűségszámítás Matematikai statisztika

Jegyzetek

További információk

https://web.archive.org/web/20071027221932/http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/NYU%20Basel%20Problem%20Paper.PDF

Kategória:Végtelen sorok Kategória:Pi