250px|thumb|right|Egy igen korai (talán az első) ismert egyenlet, melyet az európai kultúrkörben felírtak, Robert Recorde The Whetstone of Witte c. értekezéséből (1557). Mai jelölésekkel átírva az egyenletet: , megoldása 4.
Az egyenlet a matematikában egyenlőségjellel összekapcsolt két kifejezés. A két kifejezést az egyenlet bal és jobb oldalának nevezzük. Az egyenlet az algebra, sőt az egész matematika egyik legfontosabb fogalma.
Például egy egyszerűbb egyenlet, melynek bal oldala a „3 · |x| + 1” kifejezés, jobb oldala pedig az egyetlen számból álló „2” kifejezés. Az ismeretlenek előtt álló állandó szorzókat gyakran az egyenlet együtthatóinak nevezzük.
Mint ahogy a kifejezések, ebből következően az egyenletek is többnyire (bár nem kötelezően) változókat vagy határozatlan mennyiségeket is tartalmaznak, melyeket ismeretleneknek nevezünk (a fenti példában az „” az ismeretlen).
Az egyenletek, ill. egyenlőtlenségek többnyire kétféle alapvető helyzetben szoktak előkerülni: Egy, akár elméleti, akár gyakorlati probléma megfogalmazása során számszerű összefüggéseket sikerül feltárni a problémával kapcsolatos legfontosabb mennyiségeket leíró változók között, és a probléma valamely paraméterek konkrét értékének megkeresését igényli (például mennyi festékmennyiség kell adott területű fal lefestéséhez). Ez tipikusan a matematika alkalmazásának szituációja. Ilyenkor az egyenletek megoldásán van a hangsúly. Inkább elméleti igényű az a feladat, amikor valamilyen - nem feltétlenül absztrakt - struktúra általános, mennyiségi jellegű leírása a cél. Például a mechanikai testek mozgása mozgásegyenletekkel, a hővezetés differenciálegyenletekkel stb. írható le a fizikában, a matematikában pedig a geometriai alakzatok adhatóak meg egyenletekkel (pl. egy origó középpontú, 1 sugarú kör egyenlete ). Ilyenkor az egyenletek által leírt összefüggések egyrészt akár fontosabbak is lehetnek, mint a megoldásuk, másrészt a megoldás folyamata meg is fordulhat (például egy parabola egyenletét felírva, a megoldáshalmaz adott, és ehhez kell egyenletet keresni).
Ha mást nem mondunk, akkor az egyenletekben szereplő műveleti jelek és függvényjelek a valós vagy komplex számokon értelmezett szokásos műveletek és függvények, a számok valós ill. komplex számok, és az ismeretlenek értéke is valós vagy komplex. Azonban természetesen más struktúrákban is értelmezhető az egyenlet fogalma (amint ezt a hővezetés differenciálegyenleteinek példája is mutatja). Az egyenlet értelmezése és megoldása függ az illető alaphalmaztól, melyben értelmezve van.
Például a egyenletnek egészen más a jelentése és a megoldása, ha az egész számokon a valós számokon a maradékosztály felett értelmezzük. Ugyanis az első esetben nincs megoldás, a második esetben egy megoldás van, , a harmadik esetben két megoldás van: és ).
Egy egyenletnek tehát csak adott struktúrán belül van jelentése.
A megoldás vagy gyök fogalma
Az egyenlet megoldásán az ismeretlen(ek) mindazon értékeinek meghatározását értjük, amelyeket behelyettesítve az egyenletbe, annak két oldala egyenlővé válik. Ezeket az értékeket az egyenlet megoldásainak vagy gyökeinek nevezik.
Például a fenti 3|x|+1 = 2 valós együtthatós egyenletnek két megoldása van, 1/3 és -1/3.
Mindazonáltal nem minden egyenlet tartalmaz ismeretlent. Például a
egyenletet a szokásos módszerek szerint: a zárójel felbontásával és a mérlegelv alkalmazásával megoldva,
egyenlethez juthatunk. Ez utóbbi felfogható akár „nullismeretlenes” egyenletnek is (noha a szakirodalom nem szokta alkalmazni ezt a kifejezést). Az is látható, hogy az ekvivalens átalakítások akár csökkenthetik is ismeretlenek számát.
Az egyenlet megoldása és gyöke között különbség tehető, mint a következőkben le van írva:
Az egyenletnek egy megoldása van, a , de két gyöke, amit a másodfokú egyenlet megoldóképlete ad : és gyanánt. A két gyök azonos (egybeesik), mert a diszkrimináns zéró.
Az egyenlet megoldáshalmaza az a halmaz, amelynek elemei az egyenlet megoldásai. Az egyenlet megoldásai az egyenlet azon gyökei, amelyek elemei az egyenlet értelmezési tartományának.
Két egyenlet ekvivalens, azaz egyenértékű, ha egyenlő a megoldáshalmaza és az értelmezési tartománya.
Az egyenletek megoldása során lehetőleg ekvivalens átalakításokat kell használni, de erre nincs mindig lehetőség. Lehet, hogy törtes egyenletet fel kell szorozni a nevezők legkisebb közös többszörösével, vagy négyzetre kell emelni. Kikötések segítségével a hamis gyökök kizárhatók, vagy ellenőrzéssel felismerhetők. Ami valamelyik kifejezésbe nem helyettesíthető be, az nem lehet megoldás még akkor sem, ha egyik oldalba sem helyettesíthető be. Célszerű azonban a lehetséges számítási hibák miatt minden egyenletmegoldást ellenőrizni, azaz visszahelyettesíteni az eredeti egyenletbe. Ügyelni kell arra, hogy ne veszítsünk gyököt, mivel azt utólag nem lehet megtalálni. Ezt szükség esetén esetszétválasztással kell megelőzni.
Egyenletek osztályzása Az ismeretlenek száma szerint
Az ismeretlenek száma szerint beszélünk egyismeretlenes, kétismeretlenes, illetve többismeretlenes egyenletről.
Az alaphalmaz szerint
Azzal a megállapítással összhangban, miszerint egy egyenletnek csak adott struktúrán belül van értelme, az egyenleteknek sokszor alaphalmazt adunk meg, melyben a megoldásokat keressük. Ez számtalanféleképp lehetséges, de a gyakorlatban elkülöníthető néhány fontos alaptípus és elnevezés: diofantoszi egyenletek: egész együtthatós egyenletek, melyek megoldásai egész számok; komplex (változós vagy együtthatós) egyenletek: együtthatóik és megoldásaik komplex számok; függvényegyenletek: függvényváltozókat tartalmaznak, vagyis megoldásaik - általában valós-valós - függvények. Speciális esetük a differenciál- és az integrálegyenletek. Nevezetes függvényegyenlet (a parciális differenciálegyenletek közé tartozó) pl. a Schrödinger-egyenlet. mátrixegyenletek: az együtthatók és a megoldások mátrixok. differenciaegyenletek, melyek megoldásai sorozatok. Például egy másodrendű, lineáris differenciaegyenlet, melynek (egyik) megoldása a Fibonacci-sorozat.
A differenciálegyenletekben az ismeretlen egy függvény, és az egyenlet a függvény és valahányadik deriváltja között állapít meg összefüggést. A legmagasabb derivált adja meg az egyenlet rendjét. A természettudományos modellezés gyakran eredményez differenciálegyenleteket.
A közönséges differenciálegyenletekben a függvényt egy változó szerint deriválják. Például elsőrendű lineáris differenciálegyenlet.
A parciális differenciálegyenletekben a függvényt több változó szerint deriválják. Például elsőrendű parciális differenciálegyenlet.
A differenciálegyenletek keverednek is. Az integro-differenciálegyenletekben szerepelnek a függvény deriváltjai és integráljai. Az algebrai differenciálegyenletekben algebrai és differenciálegyenletekre jellemző kifejezések fordulnak elő, mint például az Euler-Lagrange-egyenlet a matematikai ingára:
A sztochasztikus differenciálegyenletekben véletlen mennyiségek is szerepelnek. Például a Black-Scholes-egyenlet a pénzügyi matematikában:
A megoldhatóság szerint
Ha egy egyenletnek az alaphalmaz minden eleme megoldása, azonosságnak nevezzük, ha viszont egyáltalán nincs megoldása az alaphalmazon, ellentmondásnak, vagy megoldhatatlannak. Ha van legalább egy megoldása, megoldhatónak nevezzük.
Azonosságokra példák: a valós és a komplex számokon; illetve Abel-csoportokban az additív jelöléssel. , ahol valós számok Euler-azonosság: , ahol valós.
A megoldhatóság függ az alaphalmaztól. Például: megoldhatatlan a racionális számok körében. A valós számokon megoldható, és megoldásai . megoldhatatlan a valós számok körében, de a komplex számokon igen, és megoldásai .
A műveletekkel való kifejezhetősége szerint
Legyen adott egy matematikai struktúra az A halmaz felett. Az A-ból A-ba képező valamely f függvény vagy kifejezhetőek az adott struktúra nyelvén (azaz csak a struktúrabeli műveleteket, az „alapműveleteket” tartalmazó, algebrai kifejezésekkel), vagy nem. Az előbbi esetben az f függvényt algebrainak nevezzük a struktúra felett, míg az utóbbi esetben transzcendensnek. Ilyen például az abszolútérték-függvény vagy a trigonometrikus függvények a valós számtest felett.
Az alsó- és középfokú oktatásban a valós számok körében gyakran előforduló egyenlettípusok:
Algebrai egyenlet Lineáris v. elsőfokú egyenlet Másodfokú egyenlet Harmadfokú egyenlet Transzcendens egyenlet Abszolútértékes egyenlet Exponenciális egyenlet Trigonometrikus egyenlet
stb. Lineáris egyenletek A lineáris egyenletek legfeljebb elsőfokúak, és a alakra hozhatóak, ahol -ban nem szerepel az ismeretlen. Továbbá :, valamilyen együtthatókkal. Vannak olyan egyenletek is, melyekben szerepelnek például másodfokú, egymást kiejtő tagok is, de amíg egyenletrendezéssel nem ejtik ki ezeket, addig az egyenlet nem számít lineárisnak.
Lineáris egyenleteket nemcsak számok, hanem vektorok körében is fel lehet írni, és az egyenletet vektortér fölött megoldani. Ekkor és egy vektortér elemei, és a megoldást ebben a vektortérben vagy egy másik vektortérben lehet keresni. Megoldhatók a szuperpozíciós elv alapján: egy inhomogén egyenlet megoldása megkapható, mint a hozzá tartozó homogén egyenlet megoldásának és egy partikuláris megoldásnak összege. Ez a lineáris egyenletrendszerekre is teljesül.
A linearitás miatt a homogén egyenletek, egyenletrendszerek mindig megoldhatók; egy megoldásuk a nulla, illetve a nullvektor. Ha egy homogén egyenlet megoldása egyértelmű, akkor egy inhomogén egyenlet megoldása is egyértelmű. Egy hasonló, de mélyebb kijelentés a Fredholm-alternatívák.
Polinomegyenletek A polinomegyenletekben polinomok szerepelnek, mindkét oldalon. Ha legalább az egyik foka egynél magasabb, akkor az egyenlet nemlineáris. A következő egyenletek számára léteznek megoldóképletek, illetve megoldhatók gyökjelekkel: másodfokú egyenlet, az alakra rendezve, illetve a teljes négyzetté való kiegészítés módszerével harmadfokú egyenlet, az alakra hozva; negyedfokú egyenlet, az alakból kiindulva. Itt inkább az algoritmust használják, a megoldóképlet összetettsége miatt. Ötödfokútól kezdve a polinomegyenletek nem oldhatók meg gyökjelekkel. Törtes egyenletek A törtes egyenletekben az ismeretlen megjelenik legalább egyik oldal nevezőjében, például . A megoldás útja a felszorzás a nevezőkkel, majd továbbszámolás a kapott polinomegyenlettel. Itt arra kell figyelni, hogy ragaszkodni kell az eredeti értelmezési tartományhoz, hiszen megoldásként adódhatnak olyan számok is, amelyek nem helyettesíthetők vissza. Felszorzás előtt kikötéseket kell tenni. Visszahelyettesítéskor ügyelni kell arra, hogy ami valamelyik kifejezésbe nem helyettesíthető be, az nem lehet megoldás még akkor sem, ha egyik oldalba sem helyettesíthető be. Gyökös egyenletek Gyökös egyenletekben legalább egy, az ismeretlennel alkotott kifejezés gyökjel alatt áll. Például
A gyökös egyenletek tekinthetők speciális hatványegyenleteknek, kitevővel. Megoldási módszerük egy gyökös kifejezés elkülönítése, és a megfelelő hatványra (a példában négyzetre) emelése. Ezzel a módszerrel az összes gyök kiküszöbölhető.
Ügyelni kell arra, hogy a páros hatványra emelés nem ekvivalens átalakítás, hamis gyököket hozhat be. Ezeket esetszétválasztással, kikötésekkel, de ellenőrzéssel is ki lehet zárni. Például a fenti egyenlet négyzetre emelése az egyenletet eredményezi, melynek negatív gyöke hamis gyök. Nem lehet az eredeti egyenlet megoldása, mert az egyenlet bal oldala erre az értékre nem értelmezett. Exponenciális és logaritmikus egyenletek Exponenciális egyenletekben az ismeretlen legalább egyszer kitevőben szerepel. Például exponenciális egyenlet. Logaritmikus egyenletekben az ismeretlen egy kifejezésének logaritmusa szerepel.
Az exponenciális egyenletek megoldhatók logaritmálással, logaritmusos egyenletek exponenciális vételével. A logaritmikus egyenletekhez kikötéseket kell tenni, mivel csak pozitív számnak van logaritmusa. A hamis gyökök ellenőrzéssel is kizárhatók.