A Kronecker-szorzat (Leopold Kronecker után) egy fogalom a mátrixszámításban.
Definíció Ha méretű és méretű mátrix, akkor a Kronecker-szorzat nem más, mint
azaz az mátrix minden elemét megszorozzuk a mátrixszal, és ebből képezünk egy új mátrixot, aminek mérete
Részletesebben:
Példák Első példa
Második példa
Tulajdonságai A Kronecker-szorzás nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy általában
Azonban mindig vannak permutációmátrixok, hogy
Hogyha és négyzetes, akkor választhatók úgy, hogy legyen.
A Kronecker-szorzás bilineáris, vagyis
A Kronecker-szorzás asszociatív:
A transzponáltakra teljesül, hogy: . A komplex konjugált mátrixra: .
Az adjungált mátrixra teljesül, hogy:
A Kronecker-szorzat rangja: .
Ha mérete és mérete , akkor a Kronecker-szorzat determinánsa
.
Ha az és a sajátértékei, akkor
az mátrix sajátértékei.
Ha invertálható, akkor .
Legyenek és komplex mátrixok a
dimenziókkal; ekkor léteznek az és a szorzatok, ésSteeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, , S.16
.
A pszeudoinverzekre .
Általában, ha és és általánosított inverzei, akkor az általánosított inverze.
Mátrixegyenletek Adva legyenek az mátrixok, és keressük azt az mátrixot, amire . Ekkor teljesül a következő ekvivalencia:
ahol a mátrix oszloponkénti vektorizáltja oszlopvektorrá. Jelölje az mátrix oszlopait , ekkor az egy hosszú oszlopvektor. Hasonlóan, egy oszlopvektor.
A vektorizáltból visszaszámítható a mátrix, így ha megvan , akkor az mátrix is megvan. Az ekvivalencia bizonyítása Teljesül
ahol Mátrix együtthatós egyenletek Az és indexekhez legyenek adva az mátrixok. Keressük az mátrixokat, amelyekre megoldjuk az
egyenleteket. Ez ekvivalens a következő egyenletrendszer megoldásával:
Kapcsolat a tenzorszorzással Adva legyenek a véges dimenziós vektorterek közötti és lineáris leképezések. Ekkor egyértelműen létezik egy lineáris leképezés a -vel vett tenzorszorzatok között.
Hogyha bázist választunk az és tereken, akkor a lineáris leképezés ábrázolható egy mátrixszal. Jelölje ezt a mátrixot , és a ábrázolását ! Ekkor az Kronecker-szorzat a tenzorszorzat ábrázolása. A bázisvektorok szintén tenzorszorzódnak, tehát ha a bázisa, és a bázisa az ábrázolásban, akkor a Kronecker-szorzat a bázisban lesz a tenzorszorzat mátrixa.
További alkalmazásai A Kronecker-szorzást használják például az általánosított regressziós analízisben a korrelált hibák kovarianciamátrixának előállításához. Az eredmény egy blokkdiagonális mátrix.
A kvantummechanikában több részecskés rendszereket írnak le a segítségével, ahol minden részecske spektruma korlátos. Nem korlátos spektrum esetén csak a Kronecker-szorzat algebrai szerkezete marad meg, mivel ekkor nem nem ábrázolható mátrixokkal.
Kapcsolódó műveletek A Tracy‑Singh és a Khatri–Rao-szorzatok a Kronecker-szorzat általánosításai blokkmátrixokra. Legyen az A m × n-es mátrix mi × nj méretű Aij blokkokra, a B p × q-s mátrix pk × ql méretű Bkl blokkokra particionálva, ahol Σi mi = m, Σj nj = n, Σk pk = p és Σl ql = q. Tracy–Singh-szorzat A Tracy–Singh-szorzat definíciója:Tracy, DS, Singh RP. 1972. A new matrix product and its applications in matrix differentiation. Statistica Neerlandica 26: 143–157.Liu S. 1999. Matrix results on the Khatri-Rao and Tracy-Singh products. Linear Algebra and its Applications 289: 267–277. (pdf )
ahol a szorzat ij indexű blokkja az mi p × nj q méretű Aij ○ B mátrix, ahol is (kl)-edik blokk az mi pk × nj ql méretű Aij ⊗ Bkl mátrix. Azaz a Tracy‑Singh-szorzat a blokkok Kronecker-szorzatának blokkmátrixa.
Példa:
Legyenek A és B mindketten 2 × 2-es blokkmátrixok:
kapjuk, hogy:
Khatri–Rao-szorzat
Története A Kronecker-szorzatot Leopold Kronecker után nevezték el, aki elsőként definiálta és használta. Korábban néha Zehfuss-mátrixnak nevezték, Johann Georg Zehfuss nyomán.
Jegyzetek
Források MathWorld: Matrix Direct Product Earliest Uses: Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices. Charles F. Van Loan: The ubiquitous Kronecker product. Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (2000) 85–100 (online Postscript fájl)
Kategória:Lineáris algebra