A nullvektor a matematikában a vektorterek egy speciális vektora, ami a vektorösszeadás neutrális eleme. Néhány példa nullvektorra: a nulla szám, a nullmátrix és a nullfüggvény. Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor minden vektorra ortogonális. Normált térben az egyetlen nulla normájú vektor. Egy lineáris tér minden altere tartalmazza a tér nullvektorát, ami önmagában is alteret alkot. A nullvektort használják a lineáris algebra több fontos fogalmának definiálásához, mint a lineáris függetlenség, bázis és magtér. Fontos szerepet játszik lineáris egyenletrendszerek megoldásában. Definíció Egy vektortér nullvektora az a vektor, amire
minden esetén. Tehát ez az elem a vektorok összeadásának neutrális eleme. A nullvektor jelölése A magyar szakirodalomban a nullvektor jelölése egy aláhúzott nulla. Általában meg kell különböztetni az alaptest nullelemétől; csak egydimenziós vektorterekben tekinthetők megegyezőknek. Kezdő- és végpontja egybeesik, irányt nem lehet neki tulajdonítani. Példák A valós számok fölötti vektorterében a nulla szám nullvektor. A komplex számok vektorterében a szám a nullvektor, ami szintén megfelel a nulla skalárnak. A koordinátatérben a nullvektor a n-es, ahol az összes koordináta a test nulleleme. A mátrixtérben a nullelem a nullmátrix, ami az alaptest nullelemével van kitöltve. A sorozatok vektorterében a sorozat a nullvektor. Nem tévesztendő össze az analízisben használt nullsorozattal. Adva legyen egy halmaz, és egy vektortér. Tekintjük azokat a függvényeket, melyek az halmazból a vektortérbe mennek. Ezek a függvények vektorteret alkotnak, melynek nullvektora az függvény, ahol a célvektortér nullvektora. Tulajdonságok Egyértelműség Egy vektortér nullvektora egyértelmű. Ha egy vektortérben adva van két nullvektor, akkor vizsgálhatjuk az összegüket:
ebből azonnal adódik a vektorok egyenlősége. Skalárral szorzás Minden skalárra teljesül, hogy:
és hasonlóan, a vektortér minden vektorára:
,
ami közvetlenül adódik a két disztributivitásból az , illetve helyettesítésekből. Ezzel együtt teljesül, hogy:
vagy ,
mivel abból, hogy következik, hogy vagy , továbbá . Speciális terek Normált vektorterekben a nullvektor normája nulla, és a nullvektor az egyetlen ilyen vektor. Ez következik a norma definitségéből és abszolút homogenitásából. Félnormával ellátott terekben több vektor is lehet nulla normával.What is the difference between zero vector and null vector?. Auf: stackexchange.com (Mathematichs)
Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor ortogonális a tér összes vektorára, vagyis minden esetén
,
ami következik a skalárszorzat linearitásából, illetve szemilinearitásából. Speciálisan, a nullvektor ortogonális önmagára, és - a skalárszorzat definitsége miatt - az egyetlen ilyen vektor a vektortérben.
Egy további speciális eset a pszeudoskalárszorzatos vektortereké, melyekben a pszeudoskalárszorzat egy nem feltétlenül pozitív definit bilineáris, komplex terekben szeszkvilineáris forma. Ezt az elméleti fizikában metrikának nevezik. A nulla normájú vektorok alkotják a tér nullkúpját.Der Nullkegel NK(s) [einer Form/Metrik s]. Auf: matheplanet.com (Matroids Matheplanet). Fizika szempontjából fontos a Minkowski-tér, ahol ezek a vektorok fényszerűek, és a nullkúp a fénykúp hiperfelülete.
Egy nem feltétlenül pozitív definit kvadratikus alakkal ellátott valós vektortérben izotrópnak nevezik azokat a vektorokat, ahol . Az izotróp vektorok halmaza izotróp kúp, vagy nullkúp. A mennyiséget szintén nevezik pszedudoskalárszorzatnak.Hermann Dinges: Geometrie für Anfänger – WS 2009/10. Universität Frankfurt/Main, 24. April 2010. Vektoriális szorzás A háromdimenziós euklideszi vektortérben tetszőleges vektor és a nullvektor vektoriális szorzata szintén nulla:
.
Speciálisan, a nullvektor vektoriális szorzata önmagával:
A Jacobi-azonosság is teljesül, azaz három vektorból páronként ciklikusan képzett skalárszorzatok összege a nullvektor:
. Alkalmazások Lineáris kombinációk Egy vektorcsalád, ahol indexhalmaz, a nullvektor kifejezhető lineáris kombinációként:
A vektorcsalád, illetve elemei lineárisan függetlenek, ha a nullvektor csak egyféleképpen fejezhető ki lineáris kombinációként, mégpedig úgy, hogy minden indexre. Mivel a nullvektor lineárisan függ önmagától, ezért nem lehet lineárisan független vektorcsalád eleme, így nem tartalmazhatja bázis sem.
Egy vektortér alterei mindig tartalmazzák a nullvektort; a legkisebb altér egyedül a nullvektorból áll, ez a nullvektortér. Ennek a bázisa az üres halmaz, mivel vektorok üres összege definíció szerint a nullvektor:
. Lineáris leképezések Legyenek , vektorterek ugyanazon test fölött! Ekkor, ha lineáris leképezés, akkor a nullvektort a nullvektorra képezi le:
.
A vektortér nullvektorára a vektortér több vektora is leképeződhet. Ezek a vektorok alteret alkotnak, a lineáris leképezés magterét. Egy lineáris leképezés injektív, ha magtere csak a nullvektorból áll. Lineáris egyenletrendszerek Egy homogén lineáris egyenletrendszer:
mindig megoldható, hiszen mindig megoldás. Ezt a megoldást triviálisnak nevezzük. Csak a triviális megoldás létezik, ha a lineáris leképezés magja csak a nullvektor.
Ezzel szemben egy inhomogén lineáris egyenletrendszernek:
,
sosem megoldása a nullvektor. Egyértelmű megoldása akkor van, ha a hozzá tartozó homogén lineáris egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik. Ez következik a szuperpozíciós tulajdonságból. Jegyzetek
Forrás
Fordítás
Kategória:Lineáris algebra