Kvaterniócsoportnak nevezzük (és rendszerint Q8-cal jelöljük) azt a nyolcelemű csoportot, amelyet az alábbi generátorok és definiáló relációk határoznak meg:
Az egységelemet szokás szerint jelöli, szokásos jelölése , és az elemeket rendre a szimbólumokkal jelöljük. (A kvaterniócsoportban nincs definiálva az összeadás, tehát a mínuszjelek itt nem az ellentettképzést jelölik, csak puszta szimbólumok. Azonban a csoport beágyazható a kvaterniók algebrájába (Q8 a négy bázis-egységvektor által generált szorzáscsoport), és itt a mínuszjeles elemek éppen egybeesnek a bázis-egységvektorok ellentettjeivel.
A kvaterniócsoport tehát olyan nyolcelemű csoport, amelyet az elemek alkotnak, ahol 1 az egységelem, és az összes többi elem a négyzetgyöke. , továbbá . Nem kommutatív.
A kvaterniócsoportot William Rowan Hamilton fedezte fel a 19. században.
Cayley-táblázat A kvaterniócsoport szorzótáblája a következő:
1 −1 i −i j −j k −k 1 1 −1 i −i j −j k −k −1 −1 1 −i i −j j −k k i i −i −1 1 k −k −j j −i −i i 1 −1 −k k j −j j j −j −k k −1 1 i −i −j −j j k −k 1 −1 −i i k k −k j −j −i i −1 1 −k −k k −j j i −i 1 −1
Tekintve, hogy a kvaterniócsoport nem kommutatív, lényeges, hogy a fenti táblázatban a bal szélső oszlopban lévő elemmel szorzunk balról, és a legfelső sorban lévő elemmel szorzunk jobbról.
Alapvető tulajdonságok A kvaterniócsoport
nem kommutatív (; centruma az {1, -1} kételemű csoport; feloldható (a négyelemű részcsoportok normálisak és ciklikusak, így maguk is feloldhatók); metaciklikus (-nek -vel való bővítése); Frattini-részcsoportja ; Fibonacci-csoport; karaktertáblázata megegyezik a nyolcelemű diédercsoport karaktertáblájával.
Analógia a vektoriális szorzattal A háromdimenziós euklideszi tér bázis-egységvektorait a szokásos módon i-vel, j-vel és k-val jelölve, ezek vektoriális szorzása analóg módon viselkedik a kvaterniócsoportban érvényes szorzási szabályokkal:
Források
Kategória:Véges csoportok