Általános lineáris csoportnak (vagy egyszerűen lineáris csoportnak) nevezzük és -vel jelöljük a (véges vagy végtelen dimenziós) vektortér invertálható lineáris transzformációinak csoportját. (A szokásos jelölésben a GL az angol 'általános lineáris' jelentésű general linear szavak rövidítése.) Ha véges dimenziós vektortér a test felett, akkor szokás a vagy a jelölést használni helyett (ahol a vektortér dimenziója), ami értelmes, hiszen a feletti -dimenziós vektorterek izomorfak egymással, és izomorf vektorterek transzformációcsoportjai is nyilván izomorfak. Ha véges test, amelynek elemszáma , akkor a helyett szokásos a jelölés is. (Itt nyilván prímhatvány.)
Általános lineáris csoport mint mátrixok szorzáscsoportja A véges dimenziós esetben elemei megfeleltethetők feletti -es invertálható mátrixoknak, és így megegyezik (izomorf) az ezek alkotta csoporttal. Ez a reprezentáció gyakran megkönnyíti a elemeivel való számolást.
Példák a sík lineáris transzformációinak csoportja. a nyolcelemű test feletti -as, nemnulla determinánsú mátrixok szorzáscsoportja.
Elemszám Ha végtelen test, vagy végtelen dimenziós, felett, akkor végtelen rendű csoport. Azonban véges n és q esetén is véges, mégpedig
Ezt úgy láthatjuk be, hogy megszámoljuk, hány -es invertálható mátrixot állíthatunk össze a q elemű test elemeiből. Egy ilyen mátrix első sorában bármilyen n-es állhat, kivéve a csupa nullából állót; az ilyenek száma . A második sorban bármilyen n-es állhat, ami az elsőnek nem skalárszorosa; ilyenekből darab van. A harmadikban ismét csak bármilyen n-es állhat, ami az első kettőnek nem skalárszorosa; ilyenekből darab van. Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva a j-edik sorba n-est választhatunk. Mivel az egyes sorokat a fenti feltételek mellett egymástól függetlenül tölthetjük meg, az összes lehetséges mátrix száma a fenti variációk szorzata, ami éppen az igazolni kívánt összefüggést adja.
Néhány konkrét véges általános lineáris csoport Alaptest rendje Mátrixok rendje Csoport szokásos elnevezése Csoport rendje 2 1 Triviális csoport 3 1 , ötelemű ciklikus csoport 4 1 , ötelemű ciklikus csoport 5 1 , ötelemű ciklikus csoport 2 2 , harmadfokú szimmetrikus csoport 3 2 általános lineáris csoport 4 2 alternáló csoport 5 2 általános lineáris csoport 2 3 általános lineáris csoport
Források
Kategória:Csoportelmélet Kategória:Lineáris algebra