thumb|198px|right|Az α, β, γ a háromszög a, b, c csúcsaival szembeni szögek
A Mollweide-formulák (vagy Mollweide-egyenletek), amelyeket a német Carl Mollweide matematikus-csillagász publikált, két olyan trigonometriai összefüggést foglalnak magukba, amelyek a háromszög két oldalának összege, ill. különbsége és a megfelelő (szemben fekvő) szögek összege-különbsége, valamint a harmadik oldal és szög közötti összefüggést írják le.
Jelölje a, b és c a háromszög oldalhosszait, továbbá α, β és γ rendre az ezekkel szembeni szögek mértékeit.
Ekkor: , illetve .
A formulák a háromszögekkel kapcsolatos feladatok megoldásában kiegészítik a korábban ismert trigonometriai tételeket, képleteket. Azokhoz képest jellegzetességük, hogy a háromszög mindhárom oldalát és mindhárom szögét tartalmazzák. Bizonyítás Algebrai úton Kiindulunk a szinusztételből:
(1)
(2)
Alkalmazzuk a szinuszra vonatkozó azonosságokat:
(3)
(4)
Felhasználjuk a kétszeres szögekre vonatkozó addíciós tételeket:
(5)
A háromszög szögösszegével és a kiegészítő szögre való áttérés:
(6)
(7)
Az (1) és (2) összeadásával, a (3) és (5) alkalmazásával, a (6) segítségével végzett egyszerűsítéssel:
Az (1) - (2) kivonással, a (4) és (5) alkalmazásával, a (7) segítségével végzett egyszerűsítéssel:
Ezután már csak a megfelelő tényezőkkel kell szorozni és osztani, hogy a képleteket a bevezetőben megadott alakra hozzuk. A képlet további alakjait kapjuk ciklikus permutálással. Geometriailag thumb|jobbra|hochkant=2.0|Az oldalak és a szögek jelölése Az derékszögű háromszögben , és az derékszögű háromszögben , így
Az szakasz hossza:
Az derékszögű háromszögben , tehát: Natanael Karjanto: Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry. In: Teaching Mathematics and Its Applications, 30, S. 70–74, arXiv:1808.08049, doi:10.1093/teamat/hrr008 Általánosítások thumb|hochkant=1.5| Húrnégyszög az , , és belső szögekkel és a szöggel A Mollweide-formulák egy általánosítása húrnégyszögekre teljesül. Legyen húrnégyszög, az , , és oldalhosszakkal és az , , illetve szögekkel. Az átlók metszéspontját jelöljük -vel; és . Ekkor:Emmanuel Antonio José García: A generalization of Mollweide's formula, rather Newton's Matinf, Band 5, Nr. 9–10, S. 19–22 (Digitalisat)
Ebből kaphatók a képletek további változatai:
Ezekből következnek a félszögek tangenseit tartalmazó képletek:
Története A formulákat Mollweide 1808-ban hozta nyilvánosságra, és az ő neve alatt terjedtek el. de korábban már mások is használták őket, például megjelent Isaac Newton Arithmetica Universalis (1707) című művében. A szinuszos és koszinuszos változat is megtalálható F. W. de Oppel Analysis triangulorum (1746) című művében. Thomas Simpson 1748-ban írta le, de leírta Antoine-René Mauduit (1765) és Antonio Cagnoli (1786) is.Johannes Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik. Band 5. de Gruyter,2-te erweiterte Auflage, 1923, S. 85
Jegyzetek
Források М.Я.Выгодский (Vigodszkij): Справочник по элементарной математике (MIR-Moszkva, 1971.) C. B. Mollweide: Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie. In: Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, 1808, Seiten 394–400. Heinz Klaus Strick: Karl B. Mollweide (1774–1825): Auf der Jagd nach der besten Karte. Spektrum, März 2021 Natanael Karjanto: Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry. In: Teaching Mathematics and Its Applications, 30, S. 70–74, arXiv:1808.08049, doi:10.1093/teamat/hrr008 Rex H. Wu: Proof Without Words: The Mollweide Equations from the Law of Sines. In: Mathematics Magazine, 93 (5), S. 386
Fordítás
Kapcsolódó szócikkek Szinusztétel Koszinusztétel Tangenstétel Kotangenstétel
Kategória:Háromszögek Kategória:Matematikai tételek